Hat die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6 den Wertebereich Wf=[−1,5] und ist f umkehrbar mit f⁻¹(x)=−2+1+x²?

Question

Accepted Answer

Um die Umkehrbarkeit der Funktion $ f(x) = 2x^2 + 8x + 6 $ zu überprüfen, müssen wir zunächst den Wertebereich der Funktion bestimmen und dann die Umkehrfunktion analysieren.

1. **Bestimmung des Wertebereichs**:
   Die Funktion $ f(x) $ ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von $ x^2 $ positiv ist. Um den Wertebereich zu finden, bestimmen wir die Extrempunkte.

Zuerst berechnen wir die Ableitung:
   $$
   f'(x) = 4x + 8
   $$
   Setzen wir die Ableitung gleich null, um die Extrempunkte zu finden:
   $$
   4x + 8 = 0 \implies x = -2
   $$
   Da $ -2 $ nicht im Intervall $[-1, 5]$ liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls betrachten:
   $$
   f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
   $$
   $$
   f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
   $$
   Der Wertebereich von $ f $ auf dem Intervall $[-1, 5]$ ist also $ [0, 96] $.

2. **Umkehrbarkeit**:
   Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist. Da die Ableitung $ f'(x) = 4x + 8 $ für $ x \geq -1 $ immer positiv ist (da $ f'(-1) = 4(-1) + 8 = 4 > 0 $), ist die Funktion auf dem Intervall $[-1, 5]$ streng monoton steigend.

3. **Umkehrfunktion**:
   Die angegebene Umkehrfunktion $ f^{-1}(x) = -2 + \sqrt{1 + x} $ scheint nicht korrekt zu sein. Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir $ y = f(x) $ und lösen nach $ x $ auf:
   $$
   y = 2x^2 + 8x + 6
   $$
   Umstellen ergibt:
   $$
   2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
   $$
   Dies ist eine quadratische Gleichung in $ x $. Die Lösung für $ x $ ist gegeben durch die Mitternachtsformel:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2}
   $$
   $$
   = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8(6 - y)}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{8y - 8}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2(y - 1)}}{4}
   $$
   $$
   = \frac{-2 \pm \sqrt{2(y - 1)}}{2}
   $$
   Da wir die positive Lösung für die Umkehrfunktion benötigen (da $ f $ monoton steigend ist), erhalten wir:
   $$
   f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{2(y - 1)}}{2}
   $$

Zusammenfassend ist die Funktion $ f(x) = 2x^2 + 8x + 6 $ auf dem Intervall $[-1, 5]$ umkehrbar, und der Wertebereich ist $ [0, 96] $. Die angegebene Umkehrfunktion ist nicht korrekt.

Hat die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6 den Wertebereich Wf=[−1,5] und ist f umkehrbar mit f⁻¹(x)=−2+1+x²?

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