Hat die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6 den Wertebereich Wf=[−1,5] und ist f umkehrbar mit f⁻¹(x)=−2+1+x²?

Um die Umkehrbarkeit der Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) zu überprüfen, müssen wir zunächst den Wertebereich der Funktion bestimmen und dann die Umkehrfunktion analysieren.

1. **Bestimmung des Wertebereichs**:
Die Funktion \( f(x) \) ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist. Um den Wertebereich zu finden, bestimmen wir die Extrempunkte.

Zuerst berechnen wir die Ableitung:
\[
f'(x) = 4x + 8
\]
Setzen wir die Ableitung gleich null, um die Extrempunkte zu finden:
\[
4x + 8 = 0 \implies x = -2
\]
Da \( -2 \) nicht im Intervall \([-1, 5]\) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls betrachten:
\[
f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
\]
\[
f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
\]
Der Wertebereich von \( f \) auf dem Intervall \([-1, 5]\) ist also \( [0, 96] \).

2. **Umkehrbarkeit**:
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist. Da die Ableitung \( f'(x) = 4x + 8 \) für \( x \geq -1 \) immer positiv ist (da \( f'(-1) = 4(-1) + 8 = 4 > 0 \)), ist die Funktion auf dem Intervall \([-1, 5]\) streng monoton steigend.

3. **Umkehrfunktion**:
Die angegebene Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 + \sqrt{1 + x} \) scheint nicht korrekt zu sein. Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir \( y = f(x) \) und lösen nach \( x \) auf:
\[
y = 2x^2 + 8x + 6
\]
Umstellen ergibt:
\[
2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
\]
Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Die Lösung für \( x \) ist gegeben durch die Mitternachtsformel:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8(6 - y)}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{8y - 8}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2(y - 1)}}{4}
\]
\[
= \frac{-2 \pm \sqrt{2(y - 1)}}{2}
\]
Da wir die positive Lösung für die Umkehrfunktion benötigen (da \( f \) monoton steigend ist), erhalten wir:
\[
f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{2(y - 1)}}{2}
\]

Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) auf dem Intervall \([-1, 5]\) umkehrbar, und der Wertebereich ist \( [0, 96] \). Die angegebene Umkehrfunktion ist nicht korrekt.