Hat die Gleichung -3 0 -3 + r·0 0 -3 = 0 3 2 + s·2 2 0 keine Lösung oder genau eine Lösung?

Um zu bestimmen, ob die gegebene Gleichung keine Lösung oder genau eine Lösung hat, kann man die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Matrix betrachten. Die Gleichung kann in der Form \(Ax = b\) dargestellt werden, wobei \(A\) die Koeffizientenmatrix ist,x\) der Vektor der Variablen (in diesem Fall \(r\) und \(s\)), und \(b\) der Ergebnisvektor.

Die Koeffizientenmatrix \(A\) und der Ergebnisvektor \(b\) sind:

\[
A = \begin{pmatrix}
-3 & 0 \\
0 & -3 \\
\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
2 \\
\end{pmatrix}
\]

Um die Lösbarkeit zu prüfen, kann man die Rangbedingungen verwenden. Der Rang der Matrix \(A\) muss gleich dem Rang der erweiterten Matrix \((A|b)\) sein, um eine Lösung zu haben. Wenn der Rang von \(A\) kleiner ist als der Rang von \((A|b)\), hat die Gleichung keine Lösung.

Berechne den Rang von \(A\):

Da \(A\) eine Diagonalform hat und beide Diagonalwerte ungleich null sind, ist der Rang von \(A\) 2.

Nun erweitern wir die Matrix mit dem Vektor \(b\):

\[
(A|b) = \begin{pmatrix}
-3 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 3 \\
\end{pmatrix}
\]

Der Rang der erweiterten Matrix \((A|b)\) ist ebenfalls 2, da die ersten beiden Zeilen linear unabhängig sind.

Da der Rang von \(A\) gleich dem Rang von \((A|b)\) ist und beide Ränge 2 betragen, hat die Gleichung genau eine Lösung.