Betrachten wir die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6, deren Wertebereich Wf=[0,96] ist und die umkehrbar ist mit f⁻¹(x)=−2+1+√(x²)?

Um zu überprüfen, ob die gegebene Funktion \( f(x) = x^2 + 8x + 6 \) den Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) hat und ob die Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 + \sqrt{1 + x} \) korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**:
- Die Funktion \( f(x) \) ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist, da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist.
- Um den Wertebereich zu bestimmen, berechnen wir die Nullstellen der Funktion, indem wir die Gleichung \( 2x^2 + 8x + 6 = 0 \) lösen:
\[
= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^ - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-8pm 4}{4}
\]
Dies ergibt die Nullstellen x_1 = -1 \) und \( x_2 = -3 \ - Da der Definitionsbereich \( [-1, 5] \ ist, müssen wir den Funktionswert an den Randpunkten und dem Scheitelpunkt untersuchen.
- Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2 \), was außerhalb des Intervalls liegt. Daher betrachten wir die Randpunkte:
- \( f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \)
- \( f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \)

Somit ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \).

2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
- Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir \( y = f(x) \) und lösen nach \( x \) auf:
\[
y = 2x^2 + 8x + 6 \implies 2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
\]
Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Die Lösung ist:
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8y}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{8y + 56}}{4}
\]
Da wir nur den positiven Zweig für die Umkehrfunktion betrachten, erhalten wir:
\[
x = -2 + \frac{\sqrt{8y + 56}}{4} = -2 + \frac{\sqrt{8(y + 7)}}{4} = -2 + \frac{\sqrt{2(y + 7)}}{2}
\]
Dies vereinfacht sich nicht direkt zu \( -2 + \sqrt{1 + y} \).

Zusammenfassend ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) korrekt, aber die angegebene Umkehrfunktion scheint nicht korrekt zu sein. Die Umkehrfunktion müsste genauer überprüft werden.