Betrachten wir die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6, die den Wertebereich Wf=[0,96] hat und umkehrbar ist?

Um zu überprüfen, ob die gegebene Funktion \( f(x) = 2^2 + 8x + 6 \) den angegebenen Wertebereich \( W_f = [0, 96] \) hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs**:
Die Funktion \( f(x) \) ist eine quadratische Funktion, die nach oben geöffnet ist (da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist). Um den Wertebereich zu bestimmen, finden wir zunächst die Nullstellen der Funktion, indem wir die Gleichung \( f(x) = 0 \) lösen:

\[
2x^2 + 8x + 6 = 0
\]

Wir verwenden die Mitternachtsformel:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-8 \pm 4}{4}
\]

Dies ergibt die Nullstellen:

\[
x_1 = -1 \quad \text{und} \quad x_2 = -3
\]

Da wir nur den Bereich \( [-1, 5] \) betrachten, evaluieren wir \( f(x) \) an den Randpunkten und an der Scheitelpunkt:

Der Scheitelpunkt \( x_s \) einer Parabel \( ax^2 + bx + c \) liegt bei \( x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2 \). Da \( -2 \) nicht im Intervall \( [-1, 5] \) liegt, betrachten wir nur die Randpunkte:

\[
f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
\]

\[
f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
\]

Somit ist der Wertebereich \( W_f = [0, 96] \).

2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
Die Umkehrfunktion wird angegeben als:

\[
f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2}
\]

Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir \( y = f(x) \):

\[
y = 2x^2 + 8x + 6
\]

Um \( x \) in Abhängigkeit von \( y \) zu isolieren, stellen wir die Gleichung um:

\[
2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
\]

Wir verwenden wieder die Mitternachtsformel:

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8y}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{8y + 56}}{4}
\]

Dies vereinfacht sich zu:

\[
x = -2 \pm \frac{\sqrt{8y + 56}}{4}
\]

Da wir nur den positiven Zweig für die Umkehrfunktion betrachten, erhalten wir:

\[
f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{8y + 56}}{4}
\]

Dies stimmt nicht mit der angegebenen Umkehrfunktion überein.

Zusammenfassend ist der Wertebereich korrekt, aber die angegebene Umkehrfunktion ist nicht korrekt.