Betrachten wir die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6, die den Wertebereich Wf=[0,96] hat und umkehrbar ist?

Question

Accepted Answer

Um zu überprüfen, ob die gegebene Funktion $ f(x) = 2^2 + 8x + 6 $ den angegebenen Wertebereich $ W_f = [0, 96] $ hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs**:
   Die Funktion $ f(x) $ ist eine quadratische Funktion, die nach oben geöffnet ist (da der Koeffizient von $ x^2 $ positiv ist). Um den Wertebereich zu bestimmen, finden wir zunächst die Nullstellen der Funktion, indem wir die Gleichung $ f(x) = 0 $ lösen:

$$
   2x^2 + 8x + 6 = 0
   $$

Wir verwenden die Mitternachtsformel:

$$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-8 \pm 4}{4}
   $$

Dies ergibt die Nullstellen:

$$
   x_1 = -1 \quad \text{und} \quad x_2 = -3
   $$

Da wir nur den Bereich $ [-1, 5] $ betrachten, evaluieren wir $ f(x) $ an den Randpunkten und an der Scheitelpunkt:

Der Scheitelpunkt $ x_s $ einer Parabel $ ax^2 + bx + c $ liegt bei $ x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2 $. Da $ -2 $ nicht im Intervall $ [-1, 5] $ liegt, betrachten wir nur die Randpunkte:

$$
   f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
   $$

$$
   f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
   $$

Somit ist der Wertebereich $ W_f = [0, 96] $.

2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
   Die Umkehrfunktion wird angegeben als:

$$
   f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2}
   $$

Um die Umkehrfunktion zu finden, setzen wir $ y = f(x) $:

$$
   y = 2x^2 + 8x + 6
   $$

Um $ x $ in Abhängigkeit von $ y $ zu isolieren, stellen wir die Gleichung um:

$$
   2x^2 + 8x + (6 - y) = 0
   $$

Wir verwenden wieder die Mitternachtsformel:

$$
   x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (6 - y)}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8y}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{8y + 56}}{4}
   $$

Dies vereinfacht sich zu:

$$
   x = -2 \pm \frac{\sqrt{8y + 56}}{4}
   $$

Da wir nur den positiven Zweig für die Umkehrfunktion betrachten, erhalten wir:

$$
   f^{-1}(y) = -2 + \frac{\sqrt{8y + 56}}{4}
   $$

Dies stimmt nicht mit der angegebenen Umkehrfunktion überein.

Zusammenfassend ist der Wertebereich korrekt, aber die angegebene Umkehrfunktion ist nicht korrekt.

Betrachten wir die Funktion f:[−1,5]⟶R mit f(x)=2x²+8x+6, die den Wertebereich Wf=[0,96] hat und umkehrbar ist?

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