Funktion (2x-1)/(x+2)(x-5) Besonderheiten und Grenzwert x zu +Unendlich.

Question

Funktion (2x-1)/(x+2)(x-5) Besonderheiten und Grenzwert x zu +Unendlich.

Antwort

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Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

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Accepted Answer

Die Funktion \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 2)(x - 5)} \) hat einige Besonderheiten, die man beachten sollte: 1. **Definitionslücken**: Die Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner gleich null ist. Das passiert, wenn \( x + 2 = 0 \) oder \( x - 5 = 0 \). Das bedeutet, dass die Funktion bei \( x = -2 \) und \( x = 5 \) nicht definiert ist. Diese Punkte sind sogenannte Polstellen. 2. **Asymptoten**: An den Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist, gibt es vertikale Asymptoten. Das bedeutet, dass der Funktionswert gegen unendlich oder minus unendlich strebt, wenn man sich diesen Punkten nähert. 3. **Grenzwert für \( x \) gegen \( +\infty \)**: Um den Grenzwert der Funktion zu bestimmen, wenn \( x \) gegen \( +\infty \) geht, schaust du dir die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner an. Der Zähler hat die höchste Potenz \( 2x \) und der Nenner hat die höchste Potenz \( x^2 \) (da \( (x + 2)(x - 5) = x^2 - 3x - 10 \)). Wenn \( x \) sehr groß wird, dominieren diese höchsten Potenzen. Du kannst den Grenzwert wie folgt berechnen: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 1}{x^2 - 3x - 10} \] Um den Grenzwert zu vereinfachen, teilst du Zähler und Nenner durch \( x^2 \): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}} \] Wenn \( x \) gegen \( +\infty \) geht, gehen die Terme \( \frac{2}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{3}{x} \) und \( \frac{10}{x^2} \) gegen null. Daher ergibt sich: \[ = \frac{0 - 0}{1 - 0 - 0} = 0 \] Der Grenzwert der Funktion \( f(x) \) für \( x \) gegen \( +\infty \) ist also 0.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn fü... [mehr]

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Um die Surjektivität einer Funktion schnell zu überprüfen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Definition verstehen**: Eine Funktion \( f: A \to B \) ist surjektiv, wenn für jedes Element \( b \in B \) mindestens ein Element \( a \in A \) existiert, sodass \( f(a) = b \). 2. **Bild der Funktion bestimmen**: Berechne das Bild der Funktion, indem du die Funktionsvorschrift analysierst und die Werte von \( f(x) \) für alle \( x \in A \) untersuchst. 3. **Gegenteil prüfen**: Überprüfe, ob es Elemente in \( B \) gibt, die nicht im Bild von \( f \) liegen. Wenn du ein solches Element findest, ist die Funktion nicht surjektiv. 4. **Spezielle Techniken**: Bei bestimmten Funktionstypen (z.B. linearen Funktionen) kannst du auch algebraische Methoden verwenden, um zu zeigen, dass die Gleichung \( f(x) = b \) für jedes \( b \in B \) eine Lösung hat. 5. **Graphische Methode**: Bei Funktionen, die grafisch dargestellt werden können, kannst du auch die horizontale Linien-Testmethode verwenden: Wenn eine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, ist die Funktion nicht surjektiv. Diese Schritte helfen dir, die Surjektivität einer Funktion effizient zu überprüfen.

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \] Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher ist es sinnvoll, numerische Methoden oder grafische Verfahren zu verwenden, um die Nullstelle zu finden. Eine Möglichkeit ist, die Funktion \( g(x) = x - 1 - \ln(x) \) zu betrachten und deren Werte an verschiedenen Stellen zu berechnen: - Für \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 \] - Für \( x = 2 \): \[ g(2) = 2 - 1 - \ln(2) \approx 1 - 0.693 = 0.307 \] - Für \( x = 0.5 \): \[ g(0.5) = 0.5 - 1 - \ln(0.5) \approx -0.5 + 0.693 = 0.193 \] Da \( g(1) = 0 \), ist \( x = 1 \) eine Nullstelle der Funktion \( f(x) \). Zusammenfassend ist die Nullstelle von \( f(x) \) bei \( x = 1 \).

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Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

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Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) untersuchen, wenn \( x \) gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wächst \( e^x \) exponentiell, während \( x^n \) polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form \( \frac{\infty}{\infty} \), was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler \( x^n \) hat die Ableitung \( n x^{n-1} \). - Der Nenner \( e^x \) hat die Ableitung \( e^x \). Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler \( n x^{n-1} \) immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach \( n \) Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, folgt, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \).

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Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass für eine Funktion \( f \), die auf einem geschlossenen Intervall \([a, b]\) stetig und auf dem offenen Intervall \((a, b)\) differenzierba... [mehr]

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Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt, dass für eine Funktion \( f \), die auf einem geschlossenen Intervall \([a, b]\) stetig und auf dem offenen Intervall \((a, b)\) differenzierbar ist, mindestens ein Punkt \( c \) in \((a, b)\) existiert, sodass die folgende Gleichung gilt: \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] Um den Mittelwertsatz für die gegebene \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^2 + 3x + 2 \) anzuwenden, musst du zunächst die Ableitung \( f'(x) \) berechnen und dann die Werte \( f(a) \) und \( f(b) \) für ein gewähltes Intervall \([a, b]\) bestimmen. 1. **Berechnung der Ableitung**: \[ f'(x) = -x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \] 2. **Wähle ein Intervall**: Zum Beispiel \([a, b] = [0, 1]\). 3. **Berechnung von \( f(0) \) und \( f(1) \)**: \[ f(0) = 2 \] \[ f(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 3 + 2 = \frac{9}{12} + 3 + 2 = \frac{9}{12} + \frac{36}{12} + \frac{24}{12} = \frac{69}{12} = 5.75 \] 4. **Berechnung des Mittelwerts**: \[ \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = 5.75 - 2 = 3.75 \] 5. **Setze \( f'(c) = 3.75 \)** und löse die Gleichung: \[ -c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 3.75 \] \[ -c^2 + \frac{1}{2}c - 0.75 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden, um den Wert von \( c \) zu finden, der den Mittelwertsatz erfüllt.