Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Funktion (2x-1)/(x+2)(x-5) Besonderheiten und Grenzwert x zu +Unendlich.
Antwort vomDie Funktion \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 2)(x - 5)} \) hat einige Besonderheiten, die man beachten sollte: 1. **Definitionslücken**: Die Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner gleich null ist. Das passiert, wenn \( x + 2 = 0 \) oder \( x - 5 = 0 \). Das bedeutet, dass die Funktion bei \( x = -2 \) und \( x = 5 \) nicht definiert ist. Diese Punkte sind sogenannte Polstellen. 2. **Asymptoten**: An den Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist, gibt es vertikale Asymptoten. Das bedeutet, dass der Funktionswert gegen unendlich oder minus unendlich strebt, wenn man sich diesen Punkten nähert. 3. **Grenzwert für \( x \) gegen \( +\infty \)**: Um den Grenzwert der Funktion zu bestimmen, wenn \( x \) gegen \( +\infty \) geht, schaust du dir die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner an. Der Zähler hat die höchste Potenz \( 2x \) und der Nenner hat die höchste Potenz \( x^2 \) (da \( (x + 2)(x - 5) = x^2 - 3x - 10 \)). Wenn \( x \) sehr groß wird, dominieren diese höchsten Potenzen. Du kannst den Grenzwert wie folgt berechnen: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 1}{x^2 - 3x - 10} \] Um den Grenzwert zu vereinfachen, teilst du Zähler und Nenner durch \( x^2 \): \[ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} - \frac{10}{x^2}} \] Wenn \( x \) gegen \( +\infty \) geht, gehen die Terme \( \frac{2}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \), \( \frac{3}{x} \) und \( \frac{10}{x^2} \) gegen null. Daher ergibt sich: \[ = \frac{0 - 0}{1 - 0 - 0} = 0 \] Der Grenzwert der Funktion \( f(x) \) für \( x \) gegen \( +\infty \) ist also 0.
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