Berechne die Extremstellen von x^4 - 4/x.

Question

Accepted Answer

Um die Extremstellen der Funktion $ f(x) = x^4 - \frac{4}{x} $ zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Ableitung bilden**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung $ f'(x) $.

$$
   f'(x) = 4x^3 + \frac{4}{x^2}
   $$

2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden.

$$
   4x^3 + \frac{4}{x^2} = 0
   $$

Multipliziere die gesamte Gleichung mit $ x^2 $ (vorausgesetzt $ x \neq 0 $):

$$
   4x^5 + 4 = 0
   $$

Daraus folgt:

$$
   x^5 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1
   $$

3. **Zweite Ableitung bilden**: Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, berechne die zweite Ableitung $ f''(x) $.

$$
   f''(x) = 12x^2 - \frac{8}{x^3}
   $$

4. **Zweite Ableitung an den kritischen Punkten auswerten**: Setze $ x = -1 $ in die zweite Ableitung ein.

$$
   f''(-1) = 12(-1)^2 - \frac{8}{(-1)^3} = 12 + 8 = 20
   $$

Da $ f''(-1) > 0 $, handelt es sich um ein Minimum.

5. **Extremstelle bestimmen**: Setze $ x = -1 $ in die ursprüngliche Funktion ein, um den Funktionswert an der Extremstelle zu finden.

$$
   f(-1) = (-1)^4 - \frac{4}{-1} = 1 + 4 = 5
   $$

Zusammenfassend hat die Funktion $ f(x) = x^4 - \frac{4}{x} $ ein Minimum bei $ x = -1 $ mit dem Funktionswert $ f(-1) = 5 $.

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