Berechnung der Extremstellen von 2x - 1/x^2

Question

Accepted Answer

Um die Extremstellen der Funktion $ f(x) = 2x - \frac{1}{x^2} $ zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Ableitung bilden**: Zuerst berechnest du die erste Ableitung $ f'(x) $.

$$
   f'(x) = 2 + \frac{2}{x^3}
   $$

2. **Nullstellen der Ableitung finden**: Setze die Ableitung gleich null, um die kritischen Punkte zu finden.

$$
   2 + \frac{2}{x^3} = 0
   $$

$$
   \frac{2}{x^3} = -2
   $$

$$
  ^3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1
   $$

3. **Zweite Ableitung bilden**: Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, berechne die zweite Ableitung $ f''(x) $.

$$
   f''(x) = -\frac{6}{x^4}
   $$

4. **Zweite Ableitung an den kritischen Punkten auswerten**: Setze $ x = -1 $ in die zweite Ableitung ein.

$$
   f''(-1) = -\frac{6}{(-1)^4} = -6
   $$

Da $ f''(-1) < 0 $, handelt es sich um ein Maximum.

5. **Funktionswert an der Extremstelle berechnen**: Berechne den Funktionswert an der Stelle $ x = -1 $.

$$
   f(-1) = 2(-1) - \frac{1}{(-1)^2} = -2 - 1 = -3
   $$

Zusammenfassend hat die Funktion $ f(x) = 2x - \frac{1}{x^2} $ ein Maximum bei $ x = -1 $ mit dem Funktionswert $ f(-1) = -3 $.

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