Finde alle Lösungen im Intervall [0, 2pi) für die Gleichung sin^4(x) - sin^2(x) + (sqrt(3)/2) + 1 = 0.

Um die Lösungen der Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) im Intervall \( [0, 2\pi[ \) zu finden, setzen wir \( y = \sin^2(x) \). Dann wird die Gleichung zu:

\[
y^2 - y + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
y^2 - y + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = 0
\]

Um die Lösungen für \( y \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \). Berechnen wir die Diskriminante:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = 1 - 2(3 + \sqrt{3}) = 1 - 6 - 2\sqrt{3} = -5 - 2\sqrt{3}
\]

Da die Diskriminante negativ ist (\( D < 0 \)), hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) im Intervall \( [0, 2\pi[ \) keine Lösungen hat.