Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Was ist die Ableitung von root(3)(x)⋅(x^(3)+ 1/x)?
Antwort vomUm die Ableitung der Funktion \( f(x) = \sqrt[3]{x} \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x} \right) \) zu bestimmen, verwenden wir die Produktregel. Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts \( u(x) \cdot v(x) \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] Setze \( u(x) = \sqrt[3]{x} \) und \( v(x) = x^3 + \frac{1}{x} \). 1. Berechne \( u'(x) \): \[ u(x) = x^{1/3} \implies u'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] 2. Berechne \( v'(x) \): \[ v(x) = x^3 + x^{-1} \implies v'(x) = 3x^2 - x^{-2} = 3x^2 - \frac{1}{x^2} \] Jetzt setze die Ableitungen in die Produktregel ein: \[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] Das ergibt: \[ f'(x) = \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \right) \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x} \right) + \sqrt[3]{x} \cdot \left( 3x^2 - \frac{1}{x^2} \right) \] Das ist die Ableitung der Funktion. Um sie weiter zu vereinfachen, kannst du die Terme zusammenfassen, wenn nötig.
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