61 Fragen zu Sin

Um die Lösung(en) der trigonometrischen Gleichung \(2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot \sin(2x)\) zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor. 1. **Verwende die Identität für \(\sin(2x)\):** \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Setze dies in die Gleichung ein: \[ 2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot 2 \sin(x) \cos(x) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -2 \sin^2(x) \cos(x) \] 2. **Teile beide Seiten durch 2:** \[ \sin(x) + (\cos(x))^3 = -\sin^2(x) \cos(x) \] 3. **Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:** \[ \sin(x) + (\cos(x))^3 + \sin^2(x) \cos(x) = 0 \] 4. **Faktorisieren der Gleichung:** Es ist nicht sofort offensichtlich, wie man diese Gleichung faktorisieren kann. Daher untersuchen wir spezielle Werte für \(x\), um mögliche Lösungen zu finden. 5. **Teste spezielle Werte:** - Für \(x = 0\): \[ \sin(0) + (\cos(0))^3 + \sin^2(0) \cos(0) = 0 + 1 + 0 = 1 \neq 0 \] Also ist \(x = 0\) keine Lösung. - Für \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^3 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 + 0 = 1 \neq 0 \] Also ist \(x = \frac{\pi}{2}\) keine Lösung. - Für \(x = \pi\): \[ \sin(\pi) + (\cos(\pi))^3 + \sin^2(\pi) \cos(\pi) = 0 + (-1)^3 + 0 = -1 \neq 0 \] Also ist \(x = \pi\) keine Lösung. 6. **Weitere Analyse:** Da die offensichtlichen Werte keine Lösungen liefern, untersuchen wir die Gleichung weiter. Eine Möglichkeit ist, die Gleichung numerisch oder grafisch zu lösen, um die Schnittpunkte zu finden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die analytische Lösung dieser Gleichung komplex ist und möglicherweise spezielle numerische Methoden oder graphische Darstellungen erfordert, um alle Lösungen zu finden.

Um einen positiven Winkel \( x_1 \) aus dem Intervall \( (2\pi; 4\pi) \) und einen negativen Winkel \( x_2 \) aus dem Intervall \( (-2\pi; 0) \) zu finden, sodass \( \sin x_1 = \sin x_2 = \sin \frac{1}{3}\pi \approx 0,87 \), können wir die Eigenschaften der Sinusfunktion nutzen. 1. **Positiver Winkel \( x_1 \)**: Der Sinus hat eine Periode von \( 2\pi \). Daher können wir den Winkel \( \frac{1}{3}\pi \) um \( 2\pi \) erhöhen, um einen positiven Winkel im gewünschten Intervall zu erhalten: \[ x_1 = \frac{1}{3}\pi + 2\pi = \frac{1}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = \frac{7}{3}\pi \] Da \( \frac{7}{3}\pi \) zwischen \( 2\pi \) und \( 4\pi \) liegt, ist dies ein gültiger Wert für \( x_1 \). 2. **Negativer Winkel \( x_2 \)**: Um einen negativen Winkel zu finden, können wir den Winkel \( \frac{1}{3}\pi \) um \( -2\pi \) verringern: \[ x_2 = \frac{1}{3}\pi - 2\pi = \frac{1}{3}\pi - \frac{6}{3}\pi = -\frac{5}{3}\pi \] Da \( -\frac{5}{3}\pi \) im Intervall \( (-2\pi; 0) \) liegt, ist dies ein gültiger Wert für \( x_2 \). Zusammenfassend sind die gesuchten Winkel: - \( x_1 = \frac{7}{3}\pi \) - \( x_2 = -\frac{5}{3}\pi \)

Nein, \(\sin(-210^\circ)\) ist nicht das gleiche wie \(\sin(30^\circ)\). \(\sin(-210^\circ)\) kann wie folgt berechnet werden: - \(-210^\circ\) ist im dritten Quadranten des Einheitskreises. - Der Referenzwinkel für \(-210^\circ\) ist \(30^\circ\) (weil \(-210^\circ + 360^\circ = 150^\circ\) und \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)). - Im dritten Quadranten ist der Sinus negativ. Daher ist \(\sin(-210^\circ) = -\sin(30^\circ)\). Da \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ergibt sich: \(\sin(-210^\circ) = -\frac{1}{2}\). Also: \(\sin(-210^\circ) = -\frac{1}{2}\) und \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), was zeigt, dass sie nicht gleich sind.

Das erste Additionstheorem für den Kosinus lautet: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Um dies zu zeigen, können wir die Definitionen der trigonometrischen Funktionen und die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden. 1. **Additionstheorem für den Kosinus:** \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] 2. **Additionstheorem für den Sinus:** \[ \sin(x_1 + x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) + \cos(x_1) \sin(x_2) \] \[ \sin(x_1 - x_2) = \sin(x_1) \cos(x_2) - \cos(x_1) \sin(x_2) \] Nun zeigen wir die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus: ### Für \(\cos(x_1 + x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Summe zweier Winkel: \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] Dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Für \(\cos(x_1 - x_2)\): Betrachte die Definition des Kosinus für die Differenz zweier Winkel: \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] Auch dies ist direkt das Additionstheorem für den Kosinus, das wir beweisen wollen. ### Zusammenfassung: Die beiden Formeln \[ \cos(x_1 + x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) - \sin(x_1) \sin(x_2) \] und \[ \cos(x_1 - x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) + \sin(x_1) \sin(x_2) \] zeigen, dass das erste Additionstheorem für den Kosinus gilt: \[ \cos(x_1 \pm x_2) = \cos(x_1) \cos(x_2) \mp \sin(x_1) \sin(x_2) \] Damit ist die Gültigkeit des ersten Additionstheorems für den Kosinus bewiesen.

Die Gleichung \( \sin^{-1}(\sin a) \) ergibt \( a \), wenn \( a \) im Bereich von \(-\frac{\pi}{2}\) bis \(\frac{\pi}{2}\) liegt. Für Werte außerhalb dieses Bereichs wird das Ergebnis auf den entsprechenden Wert im Intervall zurückgeführt. Zusammengefasst: \[ \sin^{-1}(\sin a) = \begin{cases} a & \text{wenn } -\frac{\pi}{2} \leq a \leq \frac{\pi}{2} \\ \pi - a & \text{wenn } \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \\ -a & \text{wenn } a < -\frac{\pi}{2} \text{ oder } a > \frac{3\pi}{2} \end{cases} \]

Die Gleichung \( \sin^1(\sin)) \) ist nicht standardmäßig definiert. Wenn du \( \sin^{-1}(\sin(x)) \) meinst, bezieht das auf die Umkehrfunktion des Sinus, auch als arcsin oder \( \arcsin \). Die Beziehung lautet: \[ \sin^{-1}(\sin(x)) = x \quad \text{für } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \] Für Werte von \( x \) außerhalb dieses Intervalls kann das Ergebnis variieren, da der Sinus eine periodische Funktion ist. In solchen Fällen wird das Ergebnis auf den Hauptwertbereich der arcsin-Funktion zurückgeführt.

Um den Wert von α im Intervall [0°; 90°] zu bestimmen, für den gilt sin(170°) = sin(α), nutzen wir die Eigenschaften der Sinusfunktion. Da der Sinus eine periodische Funktion ist und im Bereich von 0° bis 180° symmetrisch ist, gilt: sin(θ) = sin(180° - θ) Für θ = 170° ergibt sich: sin(170°) = sin(180° - 170°) = sin(10°) Somit ist sin(170°) = sin(10°). Da α im Intervall [0°; 90°] liegen muss, ist die Lösung: α = 10°.

Um den Wert von α im Bereich [0°; 90°] zu bestimmen, für den gilt: sin(101°) = sin(α), nutzen wir die Eigenschaft der Sinusfunktion, dass sin(θ) = sin(180° - θ) ist. Da 101° > 90°, können wir den Sinuswert umformen: sin(101°) = sin(180° - 101°) = sin(79°). Somit ist α = 79°. Die Lösung ist also: α = 79°.

Um den Wert von α im Intervall [0°; 90°] zu bestimmen, für den gilt sin(93,5°) = sin(α), kannst du die Eigenschaften der Sinusfunktion nutzen. Da der Sinus eine periodische Funktion ist und im Intervall [0°; 90°] nur positive Werte annimmt, gilt: sin(α) = sin(93,5°) Da 93,5° außerhalb des Intervalls [0°; 90°] liegt, können wir den Sinuswert nutzen, um α zu finden. Der Sinus ist im ersten und zweiten Quadranten positiv. Für den ersten Quadranten gilt: α = 93,5° - 90° = 3,5° Somit ist die Lösung: α = 3,5° Das bedeutet, dass sin(93,5°) = sin(3,5°).

Um die Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) zu vereinfachen, kannst du eine Substitution verwenden. Setze \( y = \sin^2(x) \). Dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - y + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ y^2 - y + \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \] Berechne den konstanten Term: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] Somit lautet die Gleichung: \[ y^2 - y + \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 0 \] Um die Lösungen für \( y \) zu finden, kannst du die Mitternachtsformel (quadratische Formel) anwenden: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \). Setze diese Werte in die Formel ein: \[ y = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}{2 \cdot 1} \] Berechne den Diskriminanten: \[ 1 - 2(2 + \sqrt{3}) = 1 - 4 - 2\sqrt{3} = -3 - 2\sqrt{3} \] Da der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung keine reellen Werte für \( x \) hat, die sie erfüllen.

Um die Lösungen der Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) im Intervall \( [0, 2\pi[ \) zu finden, setzen wir \( y = \sin^2(x) \). Dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - y + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ y^2 - y + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = 0 \] Um die Lösungen für \( y \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -1 \) und \( c = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \). Berechnen wir die Diskriminante: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} = 1 - 2(3 + \sqrt{3}) = 1 - 6 - 2\sqrt{3} = -5 - 2\sqrt{3} \] Da die Diskriminante negativ ist (\( D < 0 \)), hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung \( \sin^4(x) - \sin^2(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \) im Intervall \( [0, 2\pi[ \) keine Lösungen hat.

Um die Funktion \( f(x) = \sin(3 \cdot x^2 + 12) \) als Komposition \( f = g \circ h \) mit \( g(x) = \sin(3 \cdot x) \) darzustellen, müssen wir eine Funktion \( h(x) \) finden, die die innere Funktion für \( g \) definiert. Die Funktion \( g(x) = \sin(3 \cdot x) \) nimmt als Argument \( 3 \cdot x \). Um \( f(x) \) in der Form \( g(h(x)) \) zu schreiben, setzen wir: \[ h(x) = 3 \cdot x^2 + 12 \] Das bedeutet, dass wir \( h(x) \) so wählen, dass \( g(h(x)) = \sin(3 \cdot h(x)) \) ergibt. Setzen wir \( h(x) \) in \( g \) ein: \[ g(h(x)) = g(3 \cdot x^2 + 12) = \sin(3 \cdot (3 \cdot x^2 + 12)) = \sin(9 \cdot x^2 + 36) \] Das passt jedoch nicht zu \( f(x) \). Stattdessen müssen wir \( h(x) \) so wählen, dass \( 3 \cdot h(x) = 3 \cdot x^2 + 12 \). Das bedeutet: \[ h(x) = x^2 + 4 \] Jetzt überprüfen wir: \[ g(h(x)) = g(x^2 + 4) = \sin(3 \cdot (x^2 + 4)) = \sin(3 \cdot x^2 + 12) \] Somit ist die gesuchte Funktion \( h(x) \): \[ h(x) = x^2 + 4 \]

Das Wertpapier mit der ISIN DE000A0S9GB0 ist ein Zertifikat, genauer gesagt ein Open End Turbo Optionsschein (Knock-Out-Zertifikat) auf den DAX-Index. Solche Produkte sind mit besonderen Risiken verbunden: **1. Hebelwirkung:** Turbo-Optionsscheine verstärken Kursbewegungen des Basiswerts (hier: DAX). Schon kleine Veränderungen im DAX können zu überproportionalen Gewinnen, aber auch zu hohen Verlusten führen. **2. Totalverlustrisiko:** Wenn der DAX den sogenannten Knock-Out-Schwellenwert erreicht oder unterschreitet/überschreitet (je nach Ausrichtung des Scheins), verfällt das Zertifikat sofort und der Einsatz ist in der Regel komplett verloren. **3. Emittentenrisiko:** Das Zertifikat ist eine Schuldverschreibung des Emittenten (in diesem Fall meist eine Bank). Geht der Emittent insolvent, droht ein Totalverlust, unabhängig von der Entwicklung des DAX. **4. Keine Dividenden:** Als Inhaber des Zertifikats erhältst du keine Dividenden, die der DAX-Unternehmen ausgeschüttet werden. **5. Komplexität und Zeitwert:** Solche Produkte sind komplex und nicht für Anfänger geeignet. Sie reagieren oft auch auf andere Faktoren wie Volatilität und Zinsen. **Fazit:** Das Risiko beim Handel mit diesem Zertifikat ist sehr hoch. Es eignet sich nur für erfahrene Anleger, die sich der Hebelwirkung und des Totalverlustrisikos bewusst sind. Eine ausführliche Information findest du im jeweiligen Wertpapierprospekt und auf der Website des Emittenten. Weitere Informationen zum Produkt findest du z.B. auf [boerse-frankfurt.de](https://www.boerse-frankfurt.de/).

Die Organisation Médicos Sin Fronteras (Ärzte ohne Grenzen) wurde 1971 von einer Gruppe französischer Ärzte und Journalisten gegründet. Die Gründung erfolgte als Reaktion auf die humanitären Krisen, die durch den Biafra-Krieg in Nigeria und die Hungersnot in Ostpakistan (heute Bangladesch) verursacht wurden. Zu den Gründern gehörten unter anderem Bernard Kouchner und Max Récamier. Die Organisation wurde ins Leben gerufen, um medizinische Hilfe in Krisengebieten zu leisten und gleichzeitig auf die Missstände aufmerksam zu machen.

Der Wert von \(\sin(2\pi)\) ist 0. Das liegt daran, dass der Sinus einer Winkelgröße in der Einheitskreis-Darstellung die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis ist, der durch diesen Winkel beschrieben wird. Ein Winkel von \(2\pi\) (oder 360 Grad) entspricht einer vollen Umdrehung im Einheitskreis, wodurch man wieder am Ausgangspunkt (1, 0) landet. Die y-Koordinate dieses Punktes ist 0, daher ist \(\sin(2\pi) = 0\).