Bestimmen Sie die Lösungen der trigonometrischen Gleichung 2(sin(x) + (cos(x))^3) = -sin(x)·sin(2x).

Um die Lösung(en) der trigonometrischen Gleichung \(2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot \sin(2x)\) zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor.

1. **Verwende die Identität für \(\sin(2x)\):**
\[
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)
\]
Setze dies in die Gleichung ein:
\[
2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot 2 \sin(x) \cos(x)
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -2 \sin^2(x) \cos(x)
\]

2. **Teile beide Seiten durch 2:**
\[
\sin(x) + (\cos(x))^3 = -\sin^2(x) \cos(x)
\]

3. **Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:**
\[
\sin(x) + (\cos(x))^3 + \sin^2(x) \cos(x) = 0
\]

4. **Faktorisieren der Gleichung:**
Es ist nicht sofort offensichtlich, wie man diese Gleichung faktorisieren kann. Daher untersuchen wir spezielle Werte für \(x\), um mögliche Lösungen zu finden.

5. **Teste spezielle Werte:**
- Für \(x = 0\):
\[
\sin(0) + (\cos(0))^3 + \sin^2(0) \cos(0) = 0 + 1 + 0 = 1 \neq 0
\]
Also ist \(x = 0\) keine Lösung.

- Für \(x = \frac{\pi}{2}\):
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^3 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 + 0 = 1 \neq 0
\]
Also ist \(x = \frac{\pi}{2}\) keine Lösung.

- Für \(x = \pi\):
\[
\sin(\pi) + (\cos(\pi))^3 + \sin^2(\pi) \cos(\pi) = 0 + (-1)^3 + 0 = -1 \neq 0
\]
Also ist \(x = \pi\) keine Lösung.

6. **Weitere Analyse:**
Da die offensichtlichen Werte keine Lösungen liefern, untersuchen wir die Gleichung weiter. Eine Möglichkeit ist, die Gleichung numerisch oder grafisch zu lösen, um die Schnittpunkte zu finden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die analytische Lösung dieser Gleichung komplex ist und möglicherweise spezielle numerische Methoden oder graphische Darstellungen erfordert, um alle Lösungen zu finden.