Bestimmen Sie die Lösungen der trigonometrischen Gleichung 2(sin(x) + (cos(x))^3) = -sin(x)·sin(2x).

Question

Bestimmen Sie die Lösungen der trigonometrischen Gleichung 2(sin(x) + (cos(x))^3) = -sin(x)·sin(2x).

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann ich eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung verwenden?

Wie nennt man es, wenn man eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral überführt?

Wie lautet die Gleichung: Einhalb mal X gleich 50?

Wie formt man 8 = 1/3^x zu x^3 = 1/8 um?

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Wie berechnet man die nächste Zehnerzahl vor oder zurück (Nachbarzehner) bei gegebenen Zahlen und gibt die Lösungen an?

Accepted Answer

Um die Lösung(en) der trigonometrischen Gleichung \(2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot \sin(2x)\) zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor. 1. **Verwende die Identität für \(\sin(2x)\):** \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Setze dies in die Gleichung ein: \[ 2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -\sin(x) \cdot 2 \sin(x) \cos(x) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 2(\sin(x) + (\cos(x))^3) = -2 \sin^2(x) \cos(x) \] 2. **Teile beide Seiten durch 2:** \[ \sin(x) + (\cos(x))^3 = -\sin^2(x) \cos(x) \] 3. **Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung:** \[ \sin(x) + (\cos(x))^3 + \sin^2(x) \cos(x) = 0 \] 4. **Faktorisieren der Gleichung:** Es ist nicht sofort offensichtlich, wie man diese Gleichung faktorisieren kann. Daher untersuchen wir spezielle Werte für \(x\), um mögliche Lösungen zu finden. 5. **Teste spezielle Werte:** - Für \(x = 0\): \[ \sin(0) + (\cos(0))^3 + \sin^2(0) \cos(0) = 0 + 1 + 0 = 1 \neq 0 \] Also ist \(x = 0\) keine Lösung. - Für \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^3 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 + 0 = 1 \neq 0 \] Also ist \(x = \frac{\pi}{2}\) keine Lösung. - Für \(x = \pi\): \[ \sin(\pi) + (\cos(\pi))^3 + \sin^2(\pi) \cos(\pi) = 0 + (-1)^3 + 0 = -1 \neq 0 \] Also ist \(x = \pi\) keine Lösung. 6. **Weitere Analyse:** Da die offensichtlichen Werte keine Lösungen liefern, untersuchen wir die Gleichung weiter. Eine Möglichkeit ist, die Gleichung numerisch oder grafisch zu lösen, um die Schnittpunkte zu finden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die analytische Lösung dieser Gleichung komplex ist und möglicherweise spezielle numerische Methoden oder graphische Darstellungen erfordert, um alle Lösungen zu finden.

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut... [mehr]

Accepted Answer

Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitution“. Zum Beispiel, wenn du die Funktion \( f(x) = x^2 \) hast und sie in die Gleichung \( y = 3 + f(x) \) einbauen möchtest, schreibst du: \( y = 3 + x^2 \) Wenn du eine komplexere Gleichung hast, wie zum Beispiel \( y = 2 \cdot f(x) + 5 \), setzt du ebenfalls die Funktion an die Stelle von \( f(x) \): \( y = 2 \cdot x^2 + 5 \) Falls du eine Funktion in eine andere Funktion einsetzt (Funktionsverkettung), zum Beispiel \( g(x) = \sin(x) \) und \( f(x) = x^2 \), dann ist \( g(f(x)) = \sin(x^2) \). Wenn du ein konkretes Beispiel hast, kann ich dir zeigen, wie du es einsetzt. Generell gilt: Ersetze einfach die Funktionsvariable durch den gewünschten Ausdruck oder die Funktion.

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

Accepted Answer

Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Accepted Answer

Die Gleichung „ein halb mal X gleich 50“ kannst du mathematisch so aufschreiben: \[\frac{1}{2} \cdot x = 50\] Das ist die gesuchte Gleichung.

Kategorie: Mathematik Tags: Gleichung Malnehmen Unbekannte

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Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenw... [mehr]

Accepted Answer

Um von der Gleichung \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass \( x \) isoliert wird und dann beide Seiten umstellen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Starte mit der Gleichung:** \[ 8 = \frac{1}{3^x} \] 2. **Beide Seiten mit \( 3^x \) multiplizieren:** \[ 8 \cdot 3^x = 1 \] 3. **Beide Seiten durch 8 teilen:** \[ 3^x = \frac{1}{8} \] 4. **Beide Seiten logarithmieren (z.B. mit dem natürlichen Logarithmus):** \[ \ln(3^x) = \ln\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x \cdot \ln(3) = -\ln(8) \] \[ x = \frac{-\ln(8)}{\ln(3)} \] 5. **Alternativ: Schreibe \( \frac{1}{8} \) als \( 8^{-1} \) und setze \( 3^x = 8^{-1} \):** \[ 3^x = 8^{-1} \] \[ 3^x = (2^3)^{-1} \] \[ 3^x = 2^{-3} \] 6. **Logarithmiere beide Seiten (z.B. mit Logarithmus zur Basis 3):** \[ x = \log_3(2^{-3}) \] \[ x = -3 \cdot \log_3(2) \] 7. **Jetzt möchtest du zu \( x^3 = \frac{1}{8} \) kommen.** Das ist eine andere Gleichung, die du erhältst, wenn du die ursprüngliche Gleichung umstellst, indem du beide Seiten mit der dritten Wurzel versiehst: \[ 3^x = \frac{1}{8} \] \[ x = \log_3\left(\frac{1}{8}\right) \] \[ x = \log_3(8^{-1}) = -\log_3(8) \] Jetzt betrachte die Gleichung \( x^3 = \frac{1}{8} \): \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Fazit:** Um von \( 8 = \frac{1}{3^x} \) auf \( x^3 = \frac{1}{8} \) zu kommen, musst du die Gleichung so umstellen, dass \( 3^x = \frac{1}{8} \) gilt, und dann die Variable \( x \) als Basis einer Potenz schreiben, sodass \( x^3 = \frac{1}{8} \) entsteht. Das ist mathematisch gesehen ein Umstellen der Gleichung und ein Wechsel der Variablenrolle. **Zusammengefasst:** Du stellst die Gleichung so um, dass die Variable \( x \) auf einer Seite als Basis mit Exponent 3 steht und auf der anderen Seite \( \frac{1}{8} \) ist. Das ist eine Umformung durch Potenzgesetze und Umstellen der Gleichung.

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Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

Accepted Answer

Hier geht es um das Rechnen zum nächsten oder vorherigen Nachbarzehner (NZ). Das bedeutet, du sollst die Zahl so ergänzen, dass das Ergebnis ein Vielfaches von 10 (also auf den nächsten... [mehr]

Accepted Answer

Hier geht es um das Rechnen zum nächsten oder vorherigen Nachbarzehner (NZ). Das bedeutet, du sollst die Zahl so ergänzen, dass das Ergebnis ein Vielfaches von 10 (also auf den nächsten Zehner) ist. **a) Addition zum nächsten Zehner:** 1. 4461 + __ = ? - Nächster Zehner nach 4461 ist 4470. - 4470 - 4461 = **9** - **Lösung:** 4461 + 9 = 4470 2. 8024 + __ = ? - Nächster Zehner nach 8024 ist 8030. - 8030 - 8024 = **6** - **Lösung:** 8024 + 6 = 8030 3. 3755 + __ = __ - Nächster Zehner nach 3755 ist 3760. - 3760 - 3755 = **5** - **Lösung:** 3755 + 5 = 3760 --- **b) Subtraktion zum vorherigen Zehner:** 1. 2967 - __ = __ - Vorheriger Zehner vor 2967 ist 2960. - 2967 - 2960 = **7** - **Lösung:** 2967 - 7 = 2960 2. 6433 - __ = __ - Vorheriger Zehner vor 6433 ist 6430. - 6433 - 6430 = **3** - **Lösung:** 6433 - 3 = 6430 3. 3192 - __ = __ - Vorheriger Zehner vor 3192 ist 3190. - 3192 - 3190 = **2** - **Lösung:** 3192 - 2 = 3190 --- **c) Gemischt:** 1. 1552 + __ = _ - Nächster Zehner nach 1552 ist 1560. - 1560 - 1552 = **8** - **Lösung:** 1552 + 8 = 1560 2. 9715 - __ = __ - Vorheriger Zehner vor 9715 ist 9710. - 9715 - 9710 = **5** - **Lösung:** 9715 - 5 = 9710 3. 5337 - __ = __ - Vorheriger Zehner vor 5337 ist 5330. - 5337 - 5330 = **7** - **Lösung:** 5337 - 7 = 5330 --- **Zusammengefasst:** a) 4461 + 9 = 4470 8024 + 6 = 8030 3755 + 5 = 3760 b) 2967 - 7 = 2960 6433 - 3 = 6430 3192 - 2 = 3190 c) 1552 + 8 = 1560 9715 - 5 = 9710 5337 - 7 = 5330