6 Fragen zu Binomialkoeffizient

Um den Ausdruck \[ P(X_1 = i) = \frac{{\binom{1}{1} \cdot \binom{k-1}{0}}}{{\binom{k}{1}}} = \frac{k-1}{k} \] auszuschreiben, müssen die Binomialkoeffizienten aufgelöst werden. Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) werden definiert als \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). 1. \(\binom{1}{1}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 1 Element aus 1 Element auszuwählen. Das ist 1, weil \(\binom{1}{1} = \frac{1!}{1!(1-1)!} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1\). 2. \(\binom{k-1}{0}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 0 Elemente aus \(k-1\) Elementen auszuwählen. Das ist ebenfalls 1, weil \(\binom{k-1}{0} = \frac{(k-1)!}{0!(k-1)!} = \frac{(k-1)!}{1 \cdot (k-1)!} = 1\). 3. \(\binom{k}{1}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 1 Element aus \(k\) Elementen auszuwählen. Das ist \(k\), weil \(\binom{k}{1} = \frac{k!}{1!(k-1)!} = \frac{k \cdot (k-1)!}{1 \cdot (k-1)!} = k\). Setzt man diese Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein, erhält man: \[ P(X_1 = i) = \frac{\binom{1}{1} \cdot \binom{k-1}{0}}{\binom{k}{1}} = \frac{1 \cdot 1}{k} = \frac{1}{k} \] Es scheint, dass hier ein Fehler vorliegt, da der ursprüngliche Ausdruck \(\frac{k-1}{k}\) ergibt. Der korrekte Ausdruck sollte daher überprüft werden. Wenn der ursprüngliche Ausdruck korrekt ist, dann: \[ P(X_1 = i) = \frac{k-1}{k} \] Dies könnte auf eine andere Herleitung oder einen anderen Kontext hinweisen, der nicht nur auf den Binomialkoeffizienten basiert.

Die Fakultät (oft mit dem Symbol "!" dargestellt) ist eine mathematische Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n angibt. Für eine Zahl n wird die Fakultät wie folgt definiert: \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \] Zum Beispiel: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Beim Binomialkoeffizienten, der oft in der Form \(\binom{n}{k}\) geschrieben wird, spielt die Fakultät eine zentrale Rolle. Der Binomialkoeffizient wird verwendet, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen, und wird durch die folgende Formel definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Hierbei sind \(n!\), \(k!\) und \((n-k)!\) die Fakultäten von n, k und (n-k) respektive. Die Fakultät hilft also dabei, die Anzahl der möglichen Kombinationen zu berechnen.

49 über 6, auch geschrieben als \(\binom{49}{6}\), ist ein Binomialkoeffizient und wird verwendet, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, 6 Objekte aus einer Menge von 49 Objekten auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten lautet: \[ \binom{49}{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} \] Dabei steht "!" für die Fakultät, was bedeutet, dass man alle positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl multipliziert. Zum Beispiel ist \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\). Die Berechnung von \(\binom{49}{6}\) ergibt: \[ \binom{49}{6} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13.983.816 \] Es gibt also 13.983.816 verschiedene Möglichkeiten, 6 Objekte aus einer Menge von 49 Objekten auszuwählen.

Die Summe von \( k=0 \) bis \( n \) von \( (-1)^k \binom{n}{k} \) kann mit dem Binomialsatzinfacht werden. Diese Summe entspricht dem Ausdruck: \[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = (1 - 1)^n = 0^n \] Für \( n > 0 \) ist das Ergebnis also \( 0 \). Für \( n = 0 \) ist die Summe \( 1 \), da \( \binom{0}{0} = 1 \). Zusammenfassend ergibt sich: \[ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \begin{cases} 1 & \text{wenn } n = 0 \\ 0 & \text{wenn } n > 0 \end{cases} \]

Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Formel für die Anzahl der Kombinationen ("n über k"), also \(\binom{n}{k}\). **Herleitung:** Der Ausdruck \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\) ist das Produkt der ersten \(k\) Faktoren von \(n!\): \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1 \] Das heißt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Setzt du das in den ersten Ausdruck ein, erhältst du: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] **Fazit:** Du kommst von \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) / k!\) auf \(n! / (k! \cdot (n-k)!)\), indem du erkennst, dass das Produkt im Zähler genau \(n!\) ohne die letzten \((n-k)!\) Faktoren ist.

Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** verschiedenen Objekten **k** Objekte auswählen kann, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Mathematisch wird der Binomialkoeffizient so definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Dabei ist „!“ das Fakultätszeichen (z. B. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24). **Beispiel:** \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \] Das bedeutet: Es gibt 10 Möglichkeiten, aus 5 Objekten 2 auszuwählen. Weitere Informationen findest du z. B. bei [Wikipedia: Binomialkoeffizient](https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient).