Was bedeutet Fakultät beim Binomialkoeffizienten?

Die Fakultät (oft mit dem Symbol "!" dargestellt) ist eine mathematische Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n angibt. Für eine Zahl n wird die Fakultät wie folgt definiert:

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \]

Zum Beispiel:
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Beim Binomialkoeffizienten, der oft in der Form \(\binom{n}{k}\) geschrieben wird, spielt die Fakultät eine zentrale Rolle. Der Binomialkoeffizient wird verwendet, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen, und wird durch die folgende Formel definiert:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Hierbei sind \(n!\), \(k!\) und \((n-k)!\) die Fakultäten von n, k und (n-k) respektive. Die Fakultät hilft also dabei, die Anzahl der möglichen Kombinationen zu berechnen.