Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Fo... [mehr]
Was bedeutet Fakultät beim Binomialkoeffizienten?
AntwortDie Fakultät (oft mit dem Symbol "!" dargestellt) ist eine mathematische Operation, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n angibt. Für eine Zahl n wird die Fakultät wie folgt definiert: \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1 \] Zum Beispiel: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Beim Binomialkoeffizienten, der oft in der Form \(\binom{n}{k}\) geschrieben wird, spielt die Fakultät eine zentrale Rolle. Der Binomialkoeffizient wird verwendet, um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen, und wird durch die folgende Formel definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Hierbei sind \(n!\), \(k!\) und \((n-k)!\) die Fakultäten von n, k und (n-k) respektive. Die Fakultät hilft also dabei, die Anzahl der möglichen Kombinationen zu berechnen.
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