Sie steigt nicht nur „ein bisschen“, sondern um den Faktor 1.290. Genau gilt: \(\binom{21}{4} = 5.985\) und \(\binom{42}{8} = 7.726.160\). Rechnung Für „4 aus 21“: \[ \...
Wie schreibt man [ P(X₁ = i) = (1 über 1 * (k-1) über 0) / (k über 1) = (k-1) / k ] aus?
Antwort vomUm den Ausdruck \[ P(X_1 = i) = \frac{{\binom{1}{1} \cdot \binom{k-1}{0}}}{{\binom{k}{1}}} = \frac{k-1}{k} \] auszuschreiben, müssen die Binomialkoeffizienten aufgelöst werden. Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) werden definiert als \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\). 1. \(\binom{1}{1}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 1 Element aus 1 Element auszuwählen. Das ist 1, weil \(\binom{1}{1} = \frac{1!}{1!(1-1)!} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1\). 2. \(\binom{k-1}{0}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 0 Elemente aus \(k-1\) Elementen auszuwählen. Das ist ebenfalls 1, weil \(\binom{k-1}{0} = \frac{(k-1)!}{0!(k-1)!} = \frac{(k-1)!}{1 \cdot (k-1)!} = 1\). 3. \(\binom{k}{1}\) bedeutet, wie viele Möglichkeiten es gibt, 1 Element aus \(k\) Elementen auszuwählen. Das ist \(k\), weil \(\binom{k}{1} = \frac{k!}{1!(k-1)!} = \frac{k \cdot (k-1)!}{1 \cdot (k-1)!} = k\). Setzt man diese Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein, erhält man: \[ P(X_1 = i) = \frac{\binom{1}{1} \cdot \binom{k-1}{0}}{\binom{k}{1}} = \frac{1 \cdot 1}{k} = \frac{1}{k} \] Es scheint, dass hier ein Fehler vorliegt, da der ursprüngliche Ausdruck \(\frac{k-1}{k}\) ergibt. Der korrekte Ausdruck sollte daher überprüft werden. Wenn der ursprüngliche Ausdruck korrekt ist, dann: \[ P(X_1 = i) = \frac{k-1}{k} \] Dies könnte auf eine andere Herleitung oder einen anderen Kontext hinweisen, der nicht nur auf den Binomialkoeffizienten basiert.
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