Wie wird n*(n-1)*...*(n-k+1)/k! zu n!/(k!*(n-k)!) umgeformt?

Die beiden Ausdrücke

1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\)
2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)

sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Formel für die Anzahl der Kombinationen ("n über k"), also \(\binom{n}{k}\).

**Herleitung:**

Der Ausdruck \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\) ist das Produkt der ersten \(k\) Faktoren von \(n!\):

\[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1
\]

Das heißt:

\[
n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}
\]

Setzt du das in den ersten Ausdruck ein, erhältst du:

\[
\frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\]

**Fazit:**
Du kommst von \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) / k!\) auf \(n! / (k! \cdot (n-k)!)\), indem du erkennst, dass das Produkt im Zähler genau \(n!\) ohne die letzten \((n-k)!\) Faktoren ist.