Wie groß sind die Winkel Alpha und Beta in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn c 8,4 cm und b 7,2 cm lang ist?

Um die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, wenn die Längen der Seiten \(c\) (Hypotenuse) und \(b\) (eine der Katheten) gegeben sind, kann man die trigonometrischen Funktionen verwenden. Gegeben: - \(c = 8,4 \, \text{cm}\) - \(b = 7,2 \, \text{cm}\) Zuerst berechnet man die Länge der anderen Kathete \(a\) mit dem Satz des Pythagoras: \[ a = \sqrt{c^2 - b^2} \] \[ a = \sqrt{8,4^2 - 7,2^2} \] \[ a = \sqrt{7056 - 51,84} \] \[ a = \sqrt{18,72} \] \[ a \approx 4,33 \, \text{cm} \] Nun kann man die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) berechnen. Für \(\alpha\) (gegenüber der Kathete \(a\)): \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \] \[ \alpha = \arcsin\left(\frac{4,33}{8,4}\right) \] \[ \alpha \approx \arcsin(0,5155) \] \[ \alpha \approx 31,05^\circ \] Für \(\beta\) (gegenüber der Kathete \(b\)): \[ \cos(\beta) = \frac{b}{c} \] \[ \beta = \arccos\left(\frac{7,2}{8,4}\right) \] \[ \beta \approx \arccos(0,8571) \] \[ \beta \approx 31,05^\circ \] Da \(\alpha\) und \(\beta\) die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sind, gilt: \[ \alpha + \beta = 90^\circ \] Somit: \[ \beta \approx 90^\circ - 31,05^\circ \] \[ \beta \approx 58,95^\circ \] Die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind also ungefähr \(31,05^\circ\) und \(58,95^\circ\).