4 Fragen zu Sinussatz

Der Sinussatz in der Geometrie besagt, dass in einem beliebigen Dreieck die Verhältnisse der Längen der Seiten zu den Sinusen der gegenüberliegenden Winkel gleich sind. Mathematisch wird der Sinussatz wie folgt ausgedrückt: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Hierbei ist \(a\), \(b\) und \(c\) die Längen der Seiten des Dreiecks, und \(A\), \(B\) und \(C\) sind die gegenüberliegenden Winkel. Der Sinussatz ist besonders nützlich zur Berechnung von Seitenlängen oder Winkeln in nicht-rechtwinkligen Dreiecken.

Der Sinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck die Verhältnisse der Seitenlängen zu den gegenüberliegenden Winkeln nutzen möchtest. Er ist besonders nützlich, wenn du zwei Winkel und eine Seite (AAS oder ASA) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSA) gegeben hast. Der Kosinussatz hingegen kommt zum Einsatz, wenn du in einem Dreieck zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SAS) oder alle drei Seiten (SSS) kennst. Er hilft dir, die Längen der Seiten oder die Größe der Winkel zu berechnen. Zusammengefasst: - Sinussatz: AAS, ASA, SSA - Kosinussatz: SAS, SSS

Um die fehlenden Werte in einem Dreieck mit den gegebenen Werten \( b = 34 \, \text{cm} \), \( \alpha = 107^\circ \) und \( \beta = 19^\circ \) zu berechnen, kannst du den Sinussatz verwenden. Der Sinussatz lautet: \[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \] Zuerst musst du den fehlenden Winkel \( \gamma \) berechnen: \[ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 107^\circ - 19^\circ = 54^\circ \] Jetzt kannst du den Sinussatz anwenden, um die Seiten \( a \) und \( c \) zu berechnen. 1. Berechnung von \( a \): \[ \frac{a}{\sin(107^\circ)} = \frac{34 \, \text{cm}}{\sin(19^\circ)} \] Um \( a \) zu isolieren, multipliziere beide Seiten mit \( \sin(107^\circ) \): \[ a = \frac{34 \, \text{cm} \cdot \sin(107^\circ)}{\sin(19^\circ)} \] 2. Berechnung von \( c \): \[ \frac{c}{\sin(54^\circ)} = \frac{34 \, \text{cm}}{\sin(19^\circ)} \] Um \( c \) zu isolieren, multipliziere beide Seiten mit \( \sin(54^\circ) \): \[ c = \frac{34 \, \text{cm} \cdot \sin(54^\circ)}{\sin(19^\circ)} \] Jetzt kannst du die Werte für \( a \) und \( c \) mit einem Taschenrechner oder einer mathematischen Software berechnen.

Der Sinussatz wird verwendet, wenn du in einem beliebigen Dreieck Beziehungen zwischen den Seiten und den gegenüberliegenden Winkeln herstellen möchtest. Du solltest den Sinussatz in folgenden Situationen anwenden: 1. **Wenn du zwei Winkel und eine Seite (AAS oder ASA) kennst**: Du kannst die fehlenden Seiten berechnen. 2. **Wenn du zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSA) kennst**: Du kannst den gegenüberliegenden Winkel und die dritte Seite berechnen. 3. **Wenn du alle drei Seiten (SSS) kennst**: Du kannst die Winkel berechnen. Der Sinussatz lautet: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen und \(A\), \(B\) und \(C\) die gegenüberliegenden Winkel sind.