Wie berechnet man das Integral von 0 bis 1 von x² * e^x dx?

Question

Wie berechnet man das Integral von 0 bis 1 von x² * e^x dx?

Antwort

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Wie nennt man es, wenn man eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral überführt?

Wie lautet eine Beispielaufgabe zu Schnittstellen von Polynomfunktionen, die mit der Substitutionsmethode gelöst wird, inklusive Lösung?

Was ist eine Integralfunktion?

Was ist das unbestimmte Integral von x?

Wie berechnet man das Integral von 0 bis 0,25 der Funktion 1/(√x * (1-√x)) dx?

Wie berechnet man das Integral von (ln x)^2 dx?

Accepted Answer

Um das Integral \(\int_0^1 x^2 e^x \, dx\) zu berechnen, verwenden wir die Methode der partiellen Integration. Die Formel für die partielle Integration lautet: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Wir setzen: - \(u = x^2\) \(\Rightarrow du = 2x \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Jetzt wenden wir die partielle Integration an: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) \, dx \] Das verbleibende Integral \(\int 2x e^x \, dx\) muss ebenfalls mit partieller Integration gelöst werden. Setzen wir hier: - \(u = 2x\) \(\Rightarrow du = 2 \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Dann erhalten wir: \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx \] Das Integral \(\int 2 e^x \, dx\) ist einfach: \[ \int 2 e^x \, dx = 2 e^x \] Setzen wir alles zusammen: \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x \] Jetzt setzen wir das in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) \] Das vereinfacht sich zu: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x = (x^2 - 2x + 2) e^x \] Nun setzen wir die Grenzen von 0 bis 1 ein: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \left[ (x^2 - 2x + 2) e^x \right]_0^1 \] Berechnen wir die Werte an den Grenzen: Für \(x = 1\): \[ (1^2 - 2 \cdot 1 + 2) e^1 = (1 - 2 + 2) e = 1e = e \] Für \(x = 0\): \[ (0^2 - 2 \cdot 0 + 2) e^0 = (0 - 0 + 2) \cdot 1 = 2 \] Setzen wir die Werte zusammen: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = e - 2 \] Das Ergebnis ist also: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = e - 2 \]

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Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

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**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitu... [mehr]

Accepted Answer

**Aufgabenstellung:** Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \) und \( g(x) = x^2 - x + 2 \). Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen mithilfe der Substitutionsmethode. --- **Lösung:** 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \( f(x) = g(x) \) \( x^3 - 2x^2 + x = x^2 - x + 2 \) 2. **Umstellen auf Null:** \( x^3 - 2x^2 + x - x^2 + x - 2 = 0 \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) 3. **Substitution:** Setze \( y = x^2 \): \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot x^2 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) \( x \cdot y - 3y + 2x - 2 = 0 \) Gruppiere nach \( y \): \( (x - 3)y + 2x - 2 = 0 \) Löse nach \( y \): \( (x - 3)y = 2 - 2x \) \( y = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) Da \( y = x^2 \), setze zurück: \( x^2 = \frac{2 - 2x}{x - 3} \) 4. **Löse die Gleichung:** Multipliziere beide Seiten mit \( x - 3 \): \( x^2(x - 3) = 2 - 2x \) \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 = 0 \) (Das ist die ursprüngliche Gleichung, also weiter mit einer anderen Methode.) Alternativ: Versuche, die Gleichung zu faktorisieren oder mit dem Horner-Schema eine Nullstelle zu finden. 5. **Nullstellen raten (z.B. x = 1):** \( 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = -1 \): \( -1 - 3 + -2 - 2 = -8 \) \( x = 2 \): \( 8 - 12 + 4 - 2 = -2 \) \( x = 1 \): \( 1 - 3 + 2 - 2 = -2 \) \( x = -2 \): \( -8 - 12 - 4 - 2 = -26 \) Es scheint keine ganzzahlige Nullstelle zu geben. Versuche die Polynomdivision oder die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen. 6. **Alternativ: Numerische Lösung oder Näherung** Da die Gleichung keine offensichtliche rationale Nullstelle hat, kann man die Schnittpunkte näherungsweise bestimmen (z.B. mit dem Newton-Verfahren oder durch Ausprobieren). --- **Zusammenfassung:** Die Aufgabe zeigt, wie man die Schnittpunkte zweier Polynomfunktionen mit der Substitutionsmethode berechnet. Die Gleichung ist jedoch nicht einfach lösbar, sodass man in der Praxis meist auf numerische Methoden zurückgreifen muss, wenn keine offensichtlichen Nullstellen vorliegen. **Hinweis:** Für Aufgaben im Unterricht empfiehlt es sich, Funktionen zu wählen, bei denen die Gleichung nach der Substitution leichter lösbar ist (z.B. mit ganzzahligen Nullstellen).

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]

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Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \( F(x) \) eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f(x) \) ergibt, also gilt: \[ F'(x) = f(x) \] Die allgemeine Form einer Integralfunktion ist: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \text{Stammfunktion von } f(x) + C \] wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist (Integrationskonstante). **Beispiel:** Für \( f(x) = 2x \) ist eine Integralfunktion \( F(x) = x^2 + C \), denn die Ableitung von \( x^2 + C \) ist wieder \( 2x \). Integralfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, insbesondere bei der Berechnung von Flächen und bei der Lösung von Differentialgleichungen.

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Das unbestimmte Integral von \( x \) bezüglich \( x \) lautet: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.

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Das unbestimmte Integral von \( x \) bezüglich \( x \) lautet: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.

Kategorie: Mathematik Tags: Integral Unbestimmt Mathematik

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Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substituti... [mehr]

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Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substitution** Setze \( u = \sqrt{x} \) ⇒ \( x = u^2 \) ⇒ \( dx = 2u\,du \). Die Grenzen ändern sich: - Für \( x = 0 \): \( u = 0 \) - Für \( x = 0{,}25 \): \( u = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) **Schritt 2: Integral umschreiben** \[ \int_{x=0}^{x=0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2u\,du}{u(1-u)} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} \] **Schritt 3: Integral berechnen** \[ \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} = 2 \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{du}{1-u} = 2 \left[ -\ln|1-u| \right]_{0}^{0{,}5} \] \[ = 2 \left( -\ln(1-0{,}5) + \ln(1-0) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) + \ln(1) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) \right) = 2 \ln(2) \] **Schritt 4: Ergebnis** \[ \boxed{2 \ln(2)} \] Das ist der exakte Wert. Näherungsweise: \[ 2 \ln(2) \approx 1{,}386 \]

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2... [mehr]

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2\ln x}{x} dx\) - \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\) Partielle Integration: \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \] Also: \[ \int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot \frac{2\ln x}{x} dx \] \[ = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\, dx \] Das Integral \(\int \ln x\, dx\) ist bekannt: \[ \int \ln x\, dx = x\ln x - x + C \] Setze das ein: \[ = x(\ln x)^2 - 2[x\ln x - x] + C \] \[ = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C \] **Ergebnis:** \[ \boxed{ \int (\ln x)^2\, dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C } \]