Um das Integral \(\int_0^1 x^2 e^x \, dx\) zu berechnen, verwenden wir die Methode der partiellen Integration. Die Formel für die partielle Integration lautet: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Wir setzen: - \(u = x^2\) \(\Rightarrow du = 2x \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Jetzt wenden wir die partielle Integration an: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) \, dx \] Das verbleibende Integral \(\int 2x e^x \, dx\) muss ebenfalls mit partieller Integration gelöst werden. Setzen wir hier: - \(u = 2x\) \(\Rightarrow du = 2 \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Dann erhalten wir: \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx \] Das Integral \(\int 2 e^x \, dx\) ist einfach: \[ \int 2 e^x \, dx = 2 e^x \] Setzen wir alles zusammen: \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x \] Jetzt setzen wir das in die ursprüngliche Gleichung ein: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) \] Das vereinfacht sich zu: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x = (x^2 - 2x + 2) e^x \] Nun setzen wir die Grenzen von 0 bis 1 ein: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \left[ (x^2 - 2x + 2) e^x \right]_0^1 \] Berechnen wir die Werte an den Grenzen: Für \(x = 1\): \[ (1^2 - 2 \cdot 1 + 2) e^1 = (1 - 2 + 2) e = 1e = e \] Für \(x = 0\): \[ (0^2 - 2 \cdot 0 + 2) e^0 = (0 - 0 + 2) \cdot 1 = 2 \] Setzen wir die Werte zusammen: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = e - 2 \] Das Ergebnis ist also: \[ \int_0^1 x^2 e^x \, dx = e - 2 \]