Wie führe ich das Integral ∫ (cos(x))²⋅√tan(x) dx mithilfe einer geeigneten Substitution auf Grund- oder Stammintegrale zurück?

Um das Integral \( I = \int (\cos(x))^2 \cd \sqrt{\tan(x)} \, dx \) zu lösen, kann eine geeignete Substitution verwendet werden. Hier ist der Lösungsweg:

1. **Substitution wählen:**
Setze \( u = \tan(x) \). Dann ist \( du = \sec^2(x) \, dx \).

2. **Ausdrücke umschreiben:**
Da \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \), ergibt sich:
\[
du = (1 + \tan^2(x)) \, dx = (1 + u^2) \, dx \implies dx = \frac{du}{1 + u^2}
\]

3. **Trigonometrische Identitäten verwenden:**
\[
\cos^2(x) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1 + u^2}
\]

4. **Integral umschreiben:**
\[
I = \int \cos^2(x) \cdot \sqrt{\tan(x)} \, dx = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{du}{1 + u^2}
\]
\[
I = \int \frac{\sqrt{u}}{(1 + u^2)^2} \, du
\]

5. **Neue Substitution:**
Setze \( v = \sqrt{u} \). Dann ist \( u = v^2 \) und \( du = 2v \, dv \).

6. **Integral weiter umschreiben:**
\[
I = \int \frac{v}{(1 + v^4)^2} \cdot 2v \, dv = 2 \int \frac{v^2}{(1 + v^4)^2} \, dv
\]
\[
I = 2 \int \frac{v^2}{(1 + v^4)^2} \, dv
\]

7. **Vereinfachung:**
Setze \( w = v^4 \). Dann ist \( dw = 4v^3 \, dv \) und \( v^2 = w^{1/2} \).

8. **Integral umschreiben:**
\[
I = 2 \int \frac{w^{1/2}}{(1 + w)^2} \cdot \frac{dw}{4w^{3/4}} = \frac{1}{2} \int \frac{w^{1/2}}{(1 + w)^2} \cdot \frac{dw}{w^{3/4}}
\]
\[
I = \frac{1}{2} \int \frac{w^{1/2 - 3/4}}{(1 + w)^2} \, dw = \frac{1}{2} \int \frac{w^{-1/4}}{(1 + w)^2} \, dw
\]

9. **Integral lösen:**
Dieses Integral ist kompliziert und erfordert spezielle Techniken oder numerische Methoden zur Lösung. Es ist jedoch möglich, dass es in einer Tabelle von Integralen gefunden werden kann oder durch weitere Substitutionen und Techniken gelöst werden kann.

Zusammengefasst:
\[
I = \frac{1}{2} \int \frac{w^{-1/4}}{(1 + w)^2} \, dw
\]

Dieser Ausdruck kann weiter analysiert werden, um eine geschlossene Form zu finden, oder numerisch ausgewertet werden.