Wie bestimme ich das Integral von x / (1 + x^2)^2 von 0 bis 1 mit Lösungsweg?

Question

Accepted Answer

Um das Integral $ I = \int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx $ zu bestimmen, kann eine Substitution verwendet werden. Hier ist der Lösungsweg:

1. **Substitution**:
   Setze $ u = 1 + x^2 $. Dann ist $ du = 2x \, dx $ oder $ \frac{du}{2} = x \, dx $.

2. **Grenzen anpassen**:
   Wenn $ x = 0 $, dann $ u = 1 $.
   Wenn $ x = 1 $, dann $ u = 2 $.

3. **Integral umschreiben**:
   Das Integral wird dann:
   $$
   I = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2}
   $$
   Dies vereinfacht sich zu:
   $$
   I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{-2} \, du
   $$

4. **Integral berechnen**:
   Das Integral von $ u^{-2} $ ist $ -u^{-1} $. Also:
   $$
   I = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} \right]_{1}^{2}
   $$
   Setze die Grenzen ein:
   $$
   I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right)
   $$
   Dies vereinfacht sich zu:
   $$
   I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}
   $$

Das bestimmte Integral ist also:
$$
I = \frac{1}{4}
$$

Wie bestimme ich das Integral von x / (1 + x^2)^2 von 0 bis 1 mit Lösungsweg?

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