Wie bestimme ich das Integral von x / (1 + x^2)^2 von 0 bis 1 mit Lösungsweg?

Question

Wie bestimme ich das Integral von x / (1 + x^2)^2 von 0 bis 1 mit Lösungsweg?

Antwort

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Wie nennt man es, wenn man eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral überführt?

Was ist eine Integralfunktion?

Was ist das unbestimmte Integral von x?

Wie berechnet man das Integral von 0 bis 0,25 der Funktion 1/(√x * (1-√x)) dx?

Wie berechnet man das Integral von (ln x)^2 dx?

Accepted Answer

Um das Integral \( I = \int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx \) zu bestimmen, kann eine Substitution verwendet werden. Hier ist der Lösungsweg: 1. **Substitution**: Setze \( u = 1 + x^2 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \) oder \( \frac{du}{2} = x \, dx \). 2. **Grenzen anpassen**: Wenn \( x = 0 \), dann \( u = 1 \). Wenn \( x = 1 \), dann \( u = 2 \). 3. **Integral umschreiben**: Das Integral wird dann: \[ I = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{-2} \, du \] 4. **Integral berechnen**: Das Integral von \( u^{-2} \) ist \( -u^{-1} \). Also: \[ I = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} \right]_{1}^{2} \] Setze die Grenzen ein: \[ I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) \] Dies vereinfacht sich zu: \[ I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \] Das bestimmte Integral ist also: \[ I = \frac{1}{4} \]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **... [mehr]

Accepted Answer

Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **unbestimmte Integral** einer Funktion zu bestimmen. Das Ergebnis ist dann die **Stammfunktion**. Wenn du zum Beispiel die Gleichung \( f(x) = 2x \) hast, dann kannst du das unbestimmte Integral von \( f(x) \) berechnen, also \( \int 2x \, dx = x^2 + C \), wobei \( C \) die Integrationskonstante ist. Man sagt also: - „Die Funktion \( f(x) \) integrieren“ - „Das unbestimmte Integral von \( f(x) \) bestimmen“ - „Die Stammfunktion von \( f(x) \) berechnen“ Der Begriff „transferieren“ wird in diesem Zusammenhang nicht verwendet.

Accepted Answer

Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \... [mehr]

Accepted Answer

Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \( F(x) \) eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f(x) \) ergibt, also gilt: \[ F'(x) = f(x) \] Die allgemeine Form einer Integralfunktion ist: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \text{Stammfunktion von } f(x) + C \] wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist (Integrationskonstante). **Beispiel:** Für \( f(x) = 2x \) ist eine Integralfunktion \( F(x) = x^2 + C \), denn die Ableitung von \( x^2 + C \) ist wieder \( 2x \). Integralfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Analysis, insbesondere bei der Berechnung von Flächen und bei der Lösung von Differentialgleichungen.

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Das unbestimmte Integral von \( x \) bezüglich \( x \) lautet: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.

Accepted Answer

Das unbestimmte Integral von \( x \) bezüglich \( x \) lautet: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.

Kategorie: Mathematik Tags: Integral Unbestimmt Mathematik

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Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substituti... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist das Integral: \[ \int_{0}^{0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x})} \] Um das Integral zu lösen, bietet sich die Substitution \( u = \sqrt{x} \) an. **Schritt 1: Substitution** Setze \( u = \sqrt{x} \) ⇒ \( x = u^2 \) ⇒ \( dx = 2u\,du \). Die Grenzen ändern sich: - Für \( x = 0 \): \( u = 0 \) - Für \( x = 0{,}25 \): \( u = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) **Schritt 2: Integral umschreiben** \[ \int_{x=0}^{x=0{,}25} \frac{dx}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2u\,du}{u(1-u)} = \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} \] **Schritt 3: Integral berechnen** \[ \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{2\,du}{1-u} = 2 \int_{u=0}^{u=0{,}5} \frac{du}{1-u} = 2 \left[ -\ln|1-u| \right]_{0}^{0{,}5} \] \[ = 2 \left( -\ln(1-0{,}5) + \ln(1-0) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) + \ln(1) \right) = 2 \left( -\ln(0{,}5) \right) = 2 \ln(2) \] **Schritt 4: Ergebnis** \[ \boxed{2 \ln(2)} \] Das ist der exakte Wert. Näherungsweise: \[ 2 \ln(2) \approx 1{,}386 \]

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2... [mehr]

Accepted Answer

Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2\ln x}{x} dx\) - \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\) Partielle Integration: \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \] Also: \[ \int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot \frac{2\ln x}{x} dx \] \[ = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\, dx \] Das Integral \(\int \ln x\, dx\) ist bekannt: \[ \int \ln x\, dx = x\ln x - x + C \] Setze das ein: \[ = x(\ln x)^2 - 2[x\ln x - x] + C \] \[ = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C \] **Ergebnis:** \[ \boxed{ \int (\ln x)^2\, dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C } \]