Wie bestimme ich das Integral von x / (1 + x^2)^2 von 0 bis 1 mit Lösungsweg?

Um das Integral \( I = \int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx \) zu bestimmen, kann eine Substitution verwendet werden. Hier ist der Lösungsweg:

1. **Substitution**:
Setze \( u = 1 + x^2 \). Dann ist \( du = 2x \, dx \) oder \( \frac{du}{2} = x \, dx \).

2. **Grenzen anpassen**:
Wenn \( x = 0 \), dann \( u = 1 \).
Wenn \( x = 1 \), dann \( u = 2 \).

3. **Integral umschreiben**:
Das Integral wird dann:
\[
I = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2}
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{-2} \, du
\]

4. **Integral berechnen**:
Das Integral von \( u^{-2} \) ist \( -u^{-1} \). Also:
\[
I = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} \right]_{1}^{2}
\]
Setze die Grenzen ein:
\[
I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right)
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
I = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}
\]

Das bestimmte Integral ist also:
\[
I = \frac{1}{4}
\]