Wie löst man eine Gleichung und gibt die Lösungsmenge an?

Um eine Gleichung zu lösen und die Lösungsmenge anzugeben, folge diesen allgemeinen Schritten:

1. **Gleichung vereinfachen**: Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite nur noch Null steht.
2. **Lösungsmethoden anwenden**: Je nach Art der Gleichung (linear, quadratisch, etc.) wende die passende Lösungsmethode an.
3. **Lösungen überprüfen**: Setze die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass sie korrekt sind.
4. **Lösungsmenge angeben**: Schreibe die Lösungen in Mengenklammern.

Hier sind zwei Beispiele:

### Beispiel 1: Lineare Gleichung
Gleichung: \(2x + 3 = 7\)

1. **Gleichung vereinfachen**:
\[2x + 3 - 3 = 7 - 3\]
\[2x = 4\]

2. **Lösungsmethode anwenden**:
\[x = \frac{4}{2}\]
\[x = 2\]

3. **Lösungen überprüfen**:
Setze \(x = 2\) in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[2(2) + 3 = 7\]
\[4 + 3 = 7\]
Die Lösung ist korrekt.

4. **Lösungsmenge angeben**:
\[\{2\}\]

### Beispiel 2: Quadratische Gleichung
Gleichung: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

1. **Gleichung vereinfachen**:
Die Gleichung ist bereits vereinfacht.

2. **Lösungsmethode anwenden** (Faktorisierung):
\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0\]

Setze jeden Faktor gleich Null:
\[x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x - 3 = 0\]
\[x = 2 \quad \text{oder} \quad x = 3\]

3. **Lösungen überprüfen**:
Setze \(x = 2\) und \(x = 3\) in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[2^2 - 5(2) + 6 = 0\]
\[4 - 10 + 6 = 0\]
\[0 = 0\]

\[3^2 - 5(3) + 6 = 0\]
\[9 - 15 + 6 = 0\]
\[0 = 0\]
Beide Lösungen sind korrekt.

4. **Lösungsmenge angeben**:
\[\{2, 3\}\]

Diese Schritte können auf verschiedene Arten von Gleichungen angewendet werden, wobei die spezifischen Methoden je nach Gleichungstyp variieren.