Wie betrachtet man die Funktion f(x)=2x²+8x+6 mit dem Wertebereich Wf=[−1,5] und der Umkehrfunktion?

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) den angegebenen Wertebereich \( W_f = [-1, 5] \) hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**:
- Zuerst bestimmen wir die Funktion \( f(x) \) und ihre Extrempunkte. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, können wir die Scheitelpunktform verwenden oder die Ableitung nutzen.
- Die Ableitung ist \( f'(x) = 4x + 8 \). Setze \( f'(x) = 0 \) um die Extrempunkte zu finden:
\[
4x + 8 = 0 \implies x = -2
\]
- Der Scheitelpunkt liegt also bei \( x = -2 \). Da \( -2 \) nicht im Intervall \( [-1, 5] \) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten \( x = -1 \) und \( x = 5 \) berechnen:
\[
f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
\]
\[
f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
\]
- Der Funktionswert bei \( x = -2 \) ist:
\[
f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 8 - 16 6 = -2
\]
- Der Wertebereich von \( f \) auf dem Intervall \( [-1, 5] \) ist also \( [0, 96] \), nicht \( [-1, 5] \).

2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
- Die angegebene Umkehrfunktion ist \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \). Diese Form scheint nicht korrekt zu sein, da sie nicht die Form einer Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion widerspiegelt.
- Um die Umkehrfunktion zu finden, müsste man die Gleichung \( y = 2x^2 + 8x + 6 \) nach \( x \) umstellen, was komplizierter ist und nicht einfach durch die angegebene Formel dargestellt werden kann.

Zusammenfassend ist der Wertebereich von \( f \) nicht \( [-1, 5] \), und die angegebene Umkehrfunktion scheint nicht korrekt zu sein.