Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
Wie betrachtet man die Funktion f(x)=2x²+8x+6 mit dem Wertebereich Wf=[−1,5] und der Umkehrfunktion?
Antwort vomUm zu überprüfen, ob die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) den angegebenen Wertebereich \( W_f = [-1, 5] \) hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung des Wertebereichs von \( f \)**: - Zuerst bestimmen wir die Funktion \( f(x) \) und ihre Extrempunkte. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, können wir die Scheitelpunktform verwenden oder die Ableitung nutzen. - Die Ableitung ist \( f'(x) = 4x + 8 \). Setze \( f'(x) = 0 \) um die Extrempunkte zu finden: \[ 4x + 8 = 0 \implies x = -2 \] - Der Scheitelpunkt liegt also bei \( x = -2 \). Da \( -2 \) nicht im Intervall \( [-1, 5] \) liegt, müssen wir die Funktionswerte an den Randpunkten \( x = -1 \) und \( x = 5 \) berechnen: \[ f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0 \] \[ f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 50 + 40 + 6 = 96 \] - Der Funktionswert bei \( x = -2 \) ist: \[ f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 8 - 16 6 = -2 \] - Der Wertebereich von \( f \) auf dem Intervall \( [-1, 5] \) ist also \( [0, 96] \), nicht \( [-1, 5] \). 2. **Überprüfung der Umkehrfunktion**: - Die angegebene Umkehrfunktion ist \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \). Diese Form scheint nicht korrekt zu sein, da sie nicht die Form einer Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion widerspiegelt. - Um die Umkehrfunktion zu finden, müsste man die Gleichung \( y = 2x^2 + 8x + 6 \) nach \( x \) umstellen, was komplizierter ist und nicht einfach durch die angegebene Formel dargestellt werden kann. Zusammenfassend ist der Wertebereich von \( f \) nicht \( [-1, 5] \), und die angegebene Umkehrfunktion scheint nicht korrekt zu sein.
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