Warum erhält man die Formel für den Flächeninhalt, wenn man die Formel für das Volumen ableitet?

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Warum erhält man die Formel für den Flächeninhalt, wenn man die Formel für das Volumen ableitet?

Antwort

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Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

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Formel nach h umstellen: V=1/3 a²xh.

Umforme die Formel V=1/3 a²xh nach h.

Was ist die Ableitung von 4,89 hoch x?

Accepted Answer

Die Ableitung der Volumenformel einer Figur nach einer ihrer Dimensionen ergibt die Formel für den Flächeninhalt der entsprechenden Querschnittsfläche. Dies liegt daran, dass die Ableitung eines Volumens nach einer Dimension die Rate des Volumenwachstums in Bezug auf diese Dimension darstellt, was dem Flächeninhalt des Querschnitts entspricht. Zum Beispiel: - Das Volumen \( V \) eines Zylinders mit der Höhe \( h \) und dem Radius \( r \) ist \( V = \pi r^2 h \). - Leitet man \( V \) nach \( h \) ab, erhält man \( \frac{dV}{dh} = \pi r^2 \), was der Flächeninhalt der Grundfläche des Zylinders ist. Diese Beziehung zeigt, dass die Ableitung des Volumens nach einer Dimension den Flächeninhalt der Querschnittsfläche entlang dieser Dimension ergibt.

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

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Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v}... [mehr]

Accepted Answer

Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = \frac{ax}{x + b} \) zu bestimmen, kannst du die Quotientenregel anwenden. Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u}{v} \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Hier ist \( u = ax \) und \( v = x + b \). 1. Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \): - \( u' = a \) - \( v' = 1 \) 2. Setze die Werte in die Quotientenregel ein: \[ f'(x) = \frac{(a)(x + b) - (ax)(1)}{(x + b)^2} \] 3. Vereinfache den Zähler: \[ f'(x) = \frac{ax + ab - ax}{(x + b)^2} = \frac{ab}{(x + b)^2} \] Die Ableitung von \( \frac{ax}{x + b} \) ist also: \[ f'(x) = \frac{ab}{(x + b)^2} \]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte... [mehr]

Accepted Answer

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen: Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. \[ r = \frac{d}{2} \] wobei \(d\) der Durchmesser ist. 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \(A\) eines Kreises wird mit der Formel \[ A = \pi r^2 \] berechnet. **Beispiel**: Angenommen, der Durchmesser des Kreises beträgt 10 cm. 1. Berechne den Radius: \[ r = \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm} \] 2. Berechne den Flächeninhalt: \[ A = \pi (5 \, \text{cm})^2 = \pi \times 25 \, \text{cm}^2 \approx 78,54 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 78,54 cm².

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die H&... [mehr]

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Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, wenn du nur den Durchmesser hast, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Durchmesser in den Radius umrechnen**: Der Radius \( r \) ist die Hälfte des Durchmessers \( d \). Das bedeutet: \[ r = \frac{d}{2} \] 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises wird mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet. Setze den Radius in die Formel ein: \[ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \] 3. **Vereinfachen**: Das ergibt: \[ A = \pi \frac{d^2}{4} \] Somit kannst du den Flächeninhalt eines Kreises berechnen, indem du den Durchmesser in die Formel \( A = \frac{\pi d^2}{4} \) einsetzt.

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \)... [mehr]

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Um den Radius eines Kreises zu berechnen, wenn du den Flächeninhalt (A) kennst, kannst du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwenden: \[ A = \pi r^2 \] Dabei ist \( r \) der Radius des Kreises und \( \pi \) ist eine mathematische Konstante, die ungefähr 3,59 beträgt. Um den Radius zu finden, kannst du die Formel umstellen: 1. Teile den Flächeninhalt durch \( \pi \): \[ r^2 = \frac{A}{\pi} \] 2. Ziehe die Quadratwurzel, um den Radius zu erhalten: \[ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \] Jetzt kannst du den Radius berechnen, wenn du den Flächeninhalt kennst.

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Das Volumen einer Kugel wird mit der Formel \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) berechnet, wobei \( r \) der Radius der Kugel ist. Für einen Radius von 1 mm (0,1 cm) lautet die Berechnung: \[ V = \f... [mehr]

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Das Volumen einer Kugel wird mit der Formel \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) berechnet, wobei \( r \) der Radius der Kugel ist. Für einen Radius von 1 mm (0,1 cm) lautet die Berechnung: \[ V = \frac{4}{3} \pi (1 \, \text{mm})^3 = \frac{4}{3} \pi (1 \, \text{mm}^3) \approx 4,19 \, \text{mm}^3 \] Das Volumen der Kugel mit einem Radius von 1 mm beträgt also etwa 4,19 mm³.

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In dies... [mehr]

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Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises kann mit der Formel \( A = \pi r^2 \) berechnet werden, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. In diesem Fall beträgt der Durchmesser 47 Meter, also ist der Radius: \[ r = \frac{47}{2} = 23,5 \text{ Meter} \] Nun berechnen wir den Flächeninhalt: \[ A = \pi (23,5)^2 \approx 3,14159 \times 552,25 \approx 1735,57 \text{ Quadratmeter} \] Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 1735,57 Quadratmeter.

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Um die Formel \( V = \frac{1}{3} a^2 \cdot h \) nach \( h \) umzustellen, folge diesen Schritten: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 3, um den Bruch zu eliminieren: \[ 3V = a^2 \cd... [mehr]

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Um die Formel \( V = \frac{1}{3} a^2 \cdot h \) nach \( h \) umzustellen, folge diesen Schritten: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 3, um den Bruch zu eliminieren: \[ 3V = a^2 \cdot h \] 2. Teile beide Seiten durch \( a^2 \): \[ h = \frac{3V}{a^2} \] Die umgestellte Formel lautet also: \[ h = \frac{3V}{a^2} \]

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Um die Formel \( V = \frac{1}{3} a^2 h \) nach \( h \) umzustellen, folge diesen Schritten: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 3: \[ 3V = a^2 h \] 2. Teile beide Seiten durch \... [mehr]

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Um die Formel \( V = \frac{1}{3} a^2 h \) nach \( h \) umzustellen, folge diesen Schritten: 1. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 3: \[ 3V = a^2 h \] 2. Teile beide Seiten durch \( a2 \): \[ h = \frac{3V}{a^2} \] Die umgestellte Formel lautet also: \[ h = \frac{3V}{a^2} \]

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Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion \( f(x) = 4,89^x \) kann mit der Exponentialregel abgeleitet werden. Die Ableitung ist gegeben durch: \[ f'() = 4,89^x \cdot \ln(4,89) \] Hierbei ist \( \ln(4,89) \) der natürliche Logarithmus von 4,89.