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Warum liefert jeder Bruch m/n mit m, n ∈ N einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch?
AntwortEin Bruch \( \frac{m}{n} \) mit \( m \in \mathbb{N} \) und \( n \in \mathbb{N} \) kann entweder einen abbrechenden oder einen periodischen Dezimalbruch ergeben, abhängig von den Eigenschaften des Nenners \( n \). 1. **Abbrechender Dezimalbruch**: Ein Dezimalbruch ist abbrechend, wenn der Nenner \( n \) nach der Vereinfachung des Bruchs nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält. Das liegt daran, dass das Dezimalsystem auf der Basis 10 basiert, und 10 sich in die Faktoren 2 und 5 zerlegen lässt. Beispiele sind \( \frac{1}{2} = 0,5 \) oder \( \frac{3}{8} = 0,375 \). 2. **Periodischer Dezimalbruch**: Ein Dezimalbruch ist periodisch, wenn der Nenner \( n \) nach der Vereinfachung des Bruchs andere Primfaktoren als 2 und 5 enthält. In diesem Fall kann der Bruch nicht vollständig in eine endliche Dezimalzahl umgewandelt werden, und es entsteht eine wiederkehrende Ziffernfolge. Ein Beispiel ist \( \frac{1}{3} = 0,333... \) oder \( \frac{1}{6} = 0,1666... \). Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Art des Dezimalbruchs, der aus einem Bruch \( \frac{m}{n} \) resultiert, direkt von den Primfaktoren des Nenners abhängt.
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