Wie konstruiert man Schritt für Schritt einen Umkreis?

Question

Wie konstruiert man Schritt für Schritt einen Umkreis?

Antwort

Verwandte Fragen

Kann man Winkel mit endlichen Schritten exakt dritteln?

Gibt es eine endliche Winkeldrittel-Konstruktion mit kubischer Parabel und wo wurde sie veröffentlicht?

Gibt es determinierte Konstruktionen zur Winkel-Dreiteilung ohne Näherungsverfahren?

Accepted Answer

Um den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren, folge diesen Schritten: 1. **Dreieck zeichnen**: Zeichne ein beliebiges Dreieck \(ABC\). 2. **Mittelsenkrechte der Seiten konstruieren**: - Zeichne die Mittelsenkrechte der Seite \(AB\): - Finde den Mittelpunkt von \(AB\) (Punkt \(M\)). - Zeichne eine Linie, die senkrecht auf \(AB\) steht und durch \(M\) verläuft. - Wiederhole diesen Vorgang für die Seiten \(BC\) und \(CA\). 3. **Schnittpunkt der Mittelsenkrechten finden**: - Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Umkreismittelpunkt (Punkt \(O\)). 4. **Umkreis zeichnen**: - Miss den Abstand vom Umkreismittelpunkt \(O\) zu einem der Eckpunkte des Dreiecks (z.B. \(A\)). Dieser Abstand ist der Radius des Umkreises. - Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt \(O\) und dem Radius \(OA\). Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks \(ABC\). Diese Schritte führen zur Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks.

Accepted Answer

Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewi... [mehr]

Accepted Answer

Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen **nicht** mit endlich vielen Schritten möglich. Das ist ein klassisches Problem der antiken Geometrie, das 1837 von Pierre Wantzel bewiesen wurde. Nur für bestimmte spezielle Winkel (z. B. 90°) ist das Dritteln mit Zirkel und Lineal möglich, aber nicht für beliebige Winkel. Falls in meinen vorherigen Antworten ein Widerspruch entstanden ist, tut mir das leid. Die korrekte Aussage ist: **Das exakte Dritteln eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal ist im Allgemeinen nicht möglich.** Weitere Informationen dazu findest du z. B. bei [Wikipedia – Winkeldrittelung](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung).

Accepted Answer

Ja, es gibt eine endliche Konstruktion zur Winkeldrittelung mit Hilfe einer kubischen Parabel. Während die klassische Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, kann sie mit besti... [mehr]

Accepted Answer

Ja, es gibt eine endliche Konstruktion zur Winkeldrittelung mit Hilfe einer kubischen Parabel. Während die klassische Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, kann sie mit bestimmten zusätzlichen Kurven, wie der kubischen Parabel, durchgeführt werden. **Mathematischer Hintergrund:** Die Winkeldrittelung ist mit Zirkel und Lineal nicht möglich, weil sie auf die Lösung einer kubischen Gleichung hinausläuft, was mit diesen Werkzeugen nicht immer geht. Fügt man jedoch eine kubische Parabel als Hilfsmittel hinzu, kann man die Winkeldrittelung geometrisch lösen. **Veröffentlichung und Quellen:** Eine klassische Beschreibung dieser Methode findet sich in vielen mathematischen Lehrbüchern und Artikeln. Ein bekannter Beleg ist: - Felix Klein: *Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert*, insbesondere Band 1, Kapitel über die Winkeldrittelung. - Weitere Darstellung: - [Wikipedia: Winkeldrittelung – Konstruktion mit kubischer Parabel](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Konstruktion_mit_kubischer_Parabel) - Hans Wussing: *Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs*, Kapitel zur klassischen Geometrie. **Kurze Beschreibung der Methode:** Man konstruiert eine kubische Parabel (z. B. \( y = x^3 \)) und nutzt deren Schnittpunkte mit einer Geraden, die durch den zu drittelnden Winkel bestimmt wird. Die Konstruktion ist endlich, da sie mit einer endlichen Anzahl von Schritten durchgeführt werden kann, sofern die kubische Parabel als gegeben vorausgesetzt wird. **Zusammenfassung:** Mit einer kubischen Parabel ist die endliche Winkeldrittelung möglich. Die Methode ist in mathematischen Standardwerken und auf [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Winkeldrittelung#Konstruktion_mit_kubischer_Parabel) dokumentiert.

Accepted Answer

Ja, es gibt determinierte (also festgelegte, nicht-probierende) Konstruktionen, mit denen man einem gedrittelten Winkel beliebig genau näherkommen kann – allerdings immer nur näherungs... [mehr]

Accepted Answer

Ja, es gibt determinierte (also festgelegte, nicht-probierende) Konstruktionen, mit denen man einem gedrittelten Winkel beliebig genau näherkommen kann – allerdings immer nur näherungsweise, nicht exakt mit Zirkel und Lineal. Das liegt daran, dass die exakte Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen unmöglich ist (dies wurde im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen). **Determinierte Konstruktionen** sind zum Beispiel: - **Konstruktionen mit regelmäßigen Vielecken:** Man kann mit Zirkel und Lineal regelmäßige Vielecke konstruieren, deren Innenwinkel sich bestimmten Winkeln annähern. Je mehr Ecken das Vieleck hat, desto näher kommt man an die gewünschte Winkeldrittelung. - **Iterative Verfahren:** Es gibt festgelegte, schrittweise Verfahren (z.B. mit Hilfe von Näherungsformeln oder bestimmten Teilungskonstruktionen), die deterministisch sind und mit jedem Schritt die Annäherung verbessern. - **Approximation mit Kettenbrüchen:** Man kann den Kosinus des Drittelwinkels durch Kettenbrüche oder Polynome approximieren und daraus eine determinierte Konstruktion ableiten. **Wichtig:** All diese Methoden liefern nur eine Annäherung, aber keine exakte Dreiteilung mit Zirkel und Lineal. Exakte Dreiteilungen sind nur für bestimmte Winkel (z.B. 90°, 180°) möglich. **Fazit:** Es gibt determinierte, also festgelegte, nicht-probierende Konstruktionsverfahren, mit denen man die Dreiteilung eines Winkels beliebig genau annähern kann. Eine exakte Dreiteilung ist jedoch im Allgemeinen mit Zirkel und Lineal nicht möglich. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Dreiteilung des Winkels](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels).