Wie mache ich den Nenner bei einem Bruch mit Wurzeln rational?

Um den Nenner eines Bruchs mit Wurzeln zu rationalisieren, kannst du die dritte binomische Formel verwenden. Diese lautet:

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Wenn du einen Bruch wie \(\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\) hast, kannst du den Nenner rationalisieren, indem du den Bruch mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners multiplizierst. Der konjugierte Ausdruck von \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) ist \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Hier sind die Schritte:

1. Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Nenner:
\[
\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]

2. Der Nenner wird dann zu:
\[
(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b
\]

3. Der Bruch sieht nun so aus:
\[
\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
\]

Auf diese Weise hast du den Nenner rationalisiert.