Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \... [mehr]
Wie löse ich das Integral von x^n * ln(x) mit partieller Integration?
AntwortUm das Integral \( I = \int x^n \cdot \ln(x) \, dx \) mittels partieller Integration zu lösen, verwendet man die Formel der partiellen Integration: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Hier wählen wir \( u = \ln(x) \) und \( dv = x^n \, dx \). Dann berechnen wir \( du \) und \( v \): \[ u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} \, dx \] \[ dv = x^n \, dx \implies v = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{(für } n \neq -1\text{)} \] Nun wenden wir die Formel der partiellen Integration an: \[ \int x^n \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} - \int \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Vereinfachen des Integrals: \[ = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int x^n \, dx \] Das verbleibende Integral ist einfach zu lösen: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \] Setzen wir dies in die Gleichung ein: \[ \int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} \] \[ = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} \] Somit ist die Lösung des Integrals: \[ \int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \left( \ln(x) - \frac{1}{n+1} \right) + C \] wobei \( C \) die Integrationskonstante ist.
