Wie löse ich das Integral von x^n * ln(x) mit partieller Integration?

Question

Accepted Answer

Um das Integral $ I = \int x^n \cdot \ln(x) \, dx $ mittels partieller Integration zu lösen, verwendet man die Formel der partiellen Integration:

$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

Hier wählen wir $ u = \ln(x) $ und $ dv = x^n \, dx $. Dann berechnen wir $ du $ und $ v $:

$$ u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} \, dx $$
$$ dv = x^n \, dx \implies v = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{(für } n \neq -1\text{)} $$

Nun wenden wir die Formel der partiellen Integration an:

$$ \int x^n \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} - \int \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} \, dx $$

Vereinfachen des Integrals:

$$ = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int x^n \, dx $$

Das verbleibende Integral ist einfach zu lösen:

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $$

Setzen wir dies in die Gleichung ein:

$$ \int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} $$

$$ = \frac{x^{n+1} \ln(x)}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$

Somit ist die Lösung des Integrals:

$$ \int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \left( \ln(x) - \frac{1}{n+1} \right) + C $$

wobei $ C $ die Integrationskonstante ist.

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