Was sind die Eigenschaften einer Verschiebung?

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Was sind die Eigenschaften einer Verschiebung?

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Was bedeutet Isometrie?

Was bedeutet eine nichteuklidische Geometrie, in der quadratische und kubische Parabeln zugelassen sind, und welche neuen Einsichten ergeben sich daraus?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen bei Kurven und Grenzprozessen möglich?

Ist eine ursprüngliche Geometrie ohne euklidische Einschränkungen möglich?

Stellt die cohaerentische Geometrie im Vergleich zur euklidischen Geometrie eine ursprüngliche Ursprünglichkeit wieder her?

Ist die cohaerentische Geometrie ohne grundlegende Bedeutung, weil sie nicht im mathematischen Mainstream ist?

Kann ein Kreis einen negativen Radius haben?

Wie sieht ein Beispielbild zu einem Geometrie-Thaleskreis aus?

Was unterscheidet cohaerentische Geometrie von euklidischer Geometrie hinsichtlich der Kurvenerzeugung im kartesischen System?

Ist die cohaerentische Geometrie gegenüber der euklidischen eine uneingeschränkte Geometrie, die auch Parabeln wie y=x^2 und y=x^3 einbezieht?

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Eine Verschiebung, auch Translation genannt, ist eine geometrische Transformation, die jedes Objekt in der Ebene oder im Raum um einen festen Vektor verschiebt. Hier sind die wesentlichen Eigenschaften einer Verschiebung: 1. **Geradlinigkeit**: Alle Punkte eines Objekts werden in die gleiche Richtung und um die gleiche Strecke verschoben. 2. **Parallelität**: Linien, die vor der Verschiebung parallel waren, bleiben auch nach der Verschiebung parallel. 3. **Abstandstreue**: Die Abstände zwischen den Punkten eines Objekts bleiben unverändert. 4. **Winkeltreue**: Die Winkel zwischen Linien oder Flächen bleiben unverändert. 5. **Orientierungstreue**: Die Orientierung des Objekts bleibt erhalten, d.h., es gibt keine Spiegelung oder Drehung. 6. **Vektor**: Die Verschiebung wird durch einen Vektor beschrieben, der die Richtung und die Länge der Verschiebung angibt. Diese Eigenschaften machen die Verschiebung zu einer isometrischen Transformation, da sie die Form und Größe des Objekts nicht verändert.

Accepted Answer

Isometrie ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere der Geometrie. Er bezeichnet eine Abbildung (Transformation) eines Raumes, bei der die Abstände zwischen allen Punkten erhalten bleiben.... [mehr]

Accepted Answer

Isometrie ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere der Geometrie. Er bezeichnet eine Abbildung (Transformation) eines Raumes, bei der die Abstände zwischen allen Punkten erhalten bleiben. Das bedeutet: Wenn zwei Punkte vor der Abbildung einen bestimmten Abstand zueinander haben, bleibt dieser Abstand auch nach der Abbildung gleich. Typische Beispiele für Isometrien in der Ebene sind Verschiebungen (Translationen), Drehungen und Spiegelungen. In der Praxis bedeutet das, dass eine Figur durch eine Isometrie zwar ihre Lage oder Orientierung ändern kann, aber ihre Form und Größe bleibt immer gleich. Isometrien spielen auch in anderen Bereichen eine Rolle, zum Beispiel in der Physik, der Informatik (z.B. bei isometrischer Grafik) oder der Architektur. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Isometrie_(Mathematik)).

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In der klassischen euklidischen Geometrie werden Geraden als die grundlegenden „Linien“ betrachtet, auf denen die Geometrie aufgebaut ist. In nichteuklidischen Geometrien (wie der hyperbol... [mehr]

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In der klassischen euklidischen Geometrie werden Geraden als die grundlegenden „Linien“ betrachtet, auf denen die Geometrie aufgebaut ist. In nichteuklidischen Geometrien (wie der hyperbolischen oder elliptischen Geometrie) werden die Eigenschaften von Geraden und Winkeln verändert, aber es bleibt meist dabei, dass „Geraden“ spezielle Kurven mit bestimmten Eigenschaften sind. Wenn du nun eine Geometrie betrachtest, in der nicht nur Geraden, sondern auch quadratische (z.B. Parabeln der Form \(y = ax^2 + bx + c\)) und kubische Parabeln (z.B. \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)) als „zulässige“ Grundobjekte gelten, dann verlässt du die klassische Geometrie und betrittst das Gebiet der sogenannten **Kurvengeometrie** oder **algebraischen Geometrie**. **Neue Einsichten und Konsequenzen:** 1. **Verallgemeinerung des Geradenbegriffs:** In einer solchen Geometrie sind nicht mehr nur Geraden die „kürzesten Verbindungen“ oder „einfachsten Kurven“, sondern auch Parabeln und kubische Parabeln. Das bedeutet, dass viele klassische Sätze (wie der Satz von der eindeutigen Verbindung zweier Punkte durch eine Gerade) nicht mehr gelten oder verallgemeinert werden müssen. 2. **Vielfalt der Verbindungen:** Zwischen zwei Punkten gibt es im Allgemeinen unendlich viele Parabeln und kubische Parabeln, die durch beide Punkte verlaufen. Die Eindeutigkeit der Verbindung, wie sie für Geraden gilt, geht verloren. 3. **Algebraische Geometrie:** Die Untersuchung von Geometrien, in denen allgemeine algebraische Kurven (also Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades) zugelassen sind, ist das Gebiet der **algebraischen Geometrie**. Hier werden geometrische Eigenschaften von Kurven und Flächen untersucht, die durch Gleichungen wie \(f(x, y) = 0\) beschrieben werden. 4. **Neue Invarianten und Klassifikationen:** In der algebraischen Geometrie spielen Begriffe wie **Genus** (eine Art „Löcherzahl“ einer Kurve), **Singularitäten** (Stellen, an denen die Kurve „spitz“ oder „seltsam“ ist) und **Rationalität** eine große Rolle. Diese Konzepte sind in der klassischen Geometrie nicht vorhanden. 5. **Projektive Geometrie:** Wenn du alle Parabeln und kubischen Parabeln zulässt, bewegst du dich auch in Richtung der **projektiven Geometrie**, in der alle algebraischen Kurven (auch Geraden als Spezialfall) betrachtet werden. Hier werden viele klassische Begriffe (wie Parallelität) neu definiert oder verlieren ihre Bedeutung. 6. **Neue Symmetrien und Transformationen:** Die Gruppe der zulässigen Transformationen (z.B. Affinitäten, projektive Transformationen) wird größer, wenn du mehr Kurventypen zulässt. Das verändert die Struktur der Geometrie grundlegend. **Zusammengefasst:** Wenn du eine Geometrie zulässt, in der auch quadratische und kubische Parabeln als „Grundobjekte“ gelten, erhältst du eine viel allgemeinere und reichhaltigere Struktur als in der klassischen Geometrie. Die Untersuchung solcher Geometrien ist das Gebiet der algebraischen und projektiven Geometrie, die viele neue Einsichten über die Struktur und Klassifikation von Kurven und Flächen liefert. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Algebraische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Geometrie) und [Wikipedia: Projektive Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie).

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Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmt... [mehr]

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Ja, eine Geometrie ohne die klassischen euklidischen Einschränkungen ist möglich und wurde in der Mathematik auch entwickelt. Die euklidische Geometrie basiert auf den fünf berühmten Axiomen von Euklid, insbesondere dem Parallelenaxiom. Wenn man diese Axiome (oder einzelne davon) aufhebt oder verändert, entstehen alternative Geometrien, sogenannte **nichteuklidische Geometrien**. Einige Beispiele: 1. **Sphärische Geometrie**: Hier existieren keine Parallelen, da alle "Geraden" (Großkreise auf einer Kugel) sich schneiden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets größer als 180°. 2. **Hyperbolische Geometrie**: Es gibt unendlich viele Parallelen zu einer gegebenen Geraden durch einen Punkt außerhalb dieser Geraden. Die Winkelsumme im Dreieck ist stets kleiner als 180°. 3. **Topologische Geometrie**: Hier werden geometrische Eigenschaften betrachtet, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, ohne dass Längen oder Winkel eine Rolle spielen. 4. **Projektive Geometrie**: In dieser Geometrie gibt es keine Parallelität mehr, da alle Geraden sich in einem "unendlich fernen Punkt" schneiden. 5. **Algebraische Geometrie**: Hier werden geometrische Objekte als Nullstellen von Polynomen betrachtet, ohne Rücksicht auf klassische Längen- oder Winkelbegriffe. **Kurven und Grenzprozesse**: Auch der Begriff der Kurve und der Grenzprozesse (wie sie in der Analysis vorkommen) kann in anderen Geometrien anders definiert oder interpretiert werden. In der Topologie etwa sind Kurven stetige Abbildungen, unabhängig von einer konkreten Metrik. In der synthetischen Differentialgeometrie werden Grenzprozesse durch andere, axiomatische Mittel ersetzt. **Fazit:** Eine Geometrie ohne euklidische Einschränkungen ist nicht nur möglich, sondern ein wichtiger und fruchtbarer Teil der modernen Mathematik. Sie eröffnet neue Perspektiven auf Raum, Form und Struktur. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

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Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem... [mehr]

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Ja, das ist möglich. Die ursprüngliche Geometrie, wie sie von den alten Griechen (insbesondere Euklid) entwickelt wurde, basiert auf bestimmten Axiomen und Annahmen – zum Beispiel dem Parallelenaxiom. Im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker wie Nikolai Lobatschewski, János Bolyai und Carl Friedrich Gauß, dass es konsistente Geometrien gibt, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Diese nennt man **nichteuklidische Geometrien**. Beispiele: - **Sphärische Geometrie**: Auf einer Kugeloberfläche gibt es keine echten Parallelen, da sich alle „Geraden“ (Großkreise) schneiden. - **Hyperbolische Geometrie**: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden verlaufen unendlich viele Parallelen zu dieser Geraden. Diese Geometrien sind genauso logisch und konsistent wie die euklidische Geometrie, nur basieren sie auf anderen Grundannahmen. Sie zeigen, dass Geometrie nicht zwangsläufig an die euklidischen Einschränkungen gebunden ist. Die Wahl der Axiome bestimmt, welche Geometrie entsteht. Mehr dazu findest du z.B. bei [Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie).

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Die Frage zielt auf einen philosophisch-mathematischen Vergleich zwischen der sogenannten „cohaerentischen Geometrie“ und der klassischen euklidischen Geometrie ab, insbesondere im Hinblic... [mehr]

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Die Frage zielt auf einen philosophisch-mathematischen Vergleich zwischen der sogenannten „cohaerentischen Geometrie“ und der klassischen euklidischen Geometrie ab, insbesondere im Hinblick auf das Konzept der Ursprünglichkeit. **Euklidische Geometrie** basiert auf einem axiomatischen System, das von Euklid im 3. Jahrhundert v. Chr. formuliert wurde. Sie geht von wenigen, als selbstverständlich angenommenen Grundbegriffen (Punkte, Geraden, Ebenen) und Axiomen aus, aus denen alle weiteren Sätze logisch abgeleitet werden. Diese Axiome sind willkürlich gewählt, aber so gestaltet, dass sie mit der Anschauung des Raumes übereinstimmen. **Cohaerentische Geometrie** ist kein standardisierter Begriff der Mathematik, sondern stammt aus der Philosophie, insbesondere aus der Phänomenologie Edmund Husserls und deren Rezeption. Sie bezeichnet eine Geometrie, die nicht von willkürlich gesetzten Axiomen ausgeht, sondern von der „cohaerenten“ (zusammenhängenden, in sich stimmigen) Erfahrung des Raumes, wie er sich im Bewusstsein ursprünglich zeigt. Hier steht die „Ursprünglichkeit“ im Vordergrund: Die Geometrie soll aus der unmittelbaren Gegebenheit des Raumes im Erleben hervorgehen, nicht aus abstrakten Setzungen. **Gegenüberstellung und Ursprünglichkeit:** - **Euklidische Geometrie:** - Beginnt mit willkürlichen, aber praktisch bewährten Axiomen. - Die Ursprünglichkeit ist eingeschränkt, da die Axiome nicht aus der Erfahrung, sondern aus einer Setzung stammen. - Die Geometrie ist ein deduktives System, das auf diesen Setzungen aufbaut. - **Cohaerentische Geometrie:** - Versucht, die Geometrie aus der ursprünglichen, vor-axiomatischen Erfahrung des Raumes zu entwickeln. - Die Ursprünglichkeit ist uneingeschränkt, da sie auf die unmittelbare Gegebenheit des Raumes im Bewusstsein zurückgeht. - Die Paradigmen sind phänomenologisch: Sie orientieren sich an der Art und Weise, wie Raum als solcher überhaupt erfahrbar ist. **Fazit:** Ja, die cohaerentische Geometrie stellt im Vergleich zur euklidischen Geometrie eine gewisse uneingeschränkte Ursprünglichkeit wieder her. Während die euklidische Geometrie von willkürlichen Setzungen ausgeht, sucht die cohaerentische Geometrie nach einer Begründung in der unmittelbaren Erfahrung und Bewusstseinsgegebenheit des Raumes. Sie will also die Geometrie auf eine ursprünglichere, nicht durch Setzungen vermittelte Grundlage stellen. Weitere Informationen zur phänomenologischen Geometrie findest du z.B. bei [Edmund Husserl](https://de.wikipedia.org/wiki/Edmund_Husserl) und in der philosophischen Literatur zur Phänomenologie.

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Nein, dass die cohaerentische Geometrie bislang nicht im mathematischen Mainstream aufgenommen wurde, bedeutet nicht automatisch, dass sie falsch oder ohne grundleg Bedeutung ist. In der Mathematik gi... [mehr]

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Nein, dass die cohaerentische Geometrie bislang nicht im mathematischen Mainstream aufgenommen wurde, bedeutet nicht automatisch, dass sie falsch oder ohne grundleg Bedeutung ist. In der Mathematik gibt es viele Theorien und Ansätze, die zunächst wenig Beachtung finden oder außerhalb des Mainstreams stehen. Das kann verschiedene Gründe haben, etwa weil sie sehr neu, schwer zugänglich, noch nicht ausreichend erforscht oder nicht unmittelbar mit aktuellen Fragestellungen verbunden sind. Ob eine mathematische Theorie „richtig“ ist, hängt davon ab, ob sie logisch konsistent aufgebaut ist und interessante, nachvollziehbare Ergebnisse liefert. Ihre „Bedeutung“ zeigt sich oft erst im Laufe der Zeit, wenn Anwendungen oder Verbindungen zu anderen Gebieten entdeckt werden. Viele heute zentrale mathematische Theorien waren anfangs Außenseiterkonzepte. Die Aufnahme in den Mainstream ist also kein Kriterium für Richtigkeit oder Wert, sondern eher ein Hinweis auf die aktuelle Verbreitung und Akzeptanz in der Fachgemeinschaft.

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Nein, ein Kreis kann keinen negativen (Minus-)Radius haben. Der Radius eines Kreises ist per Definition der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises und dieser Abstand ist immer... [mehr]

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Nein, ein Kreis kann keinen negativen (Minus-)Radius haben. Der Radius eines Kreises ist per Definition der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises und dieser Abstand ist immer eine nicht-negative Zahl (also null oder positiv). Ein negativer Radius hat in der Geometrie keine sinnvolle Bedeutung.

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Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers... [mehr]

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Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales). **Beispielhafte Skizze eines Thaleskreises:** ``` • P / \ / \ / \ A •---------• B ``` **Beschreibung:** - Die Punkte **A** und **B** sind die Endpunkte des Durchmessers des Kreises. - Der Kreis verläuft durch A und B. - Der Punkt **P** liegt auf dem Kreis (aber nicht auf dem Durchmesser). - Das Dreieck **APB** ist rechtwinklig im Punkt **P**. **So sieht ein Thaleskreis aus:** - Zeichne eine Strecke AB. - Konstruiere den Kreis mit AB als Durchmesser. - Jeder Punkt P auf dem Kreis (außer A und B) bildet mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Thaleskreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Thaleskreis).

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Deine Unterscheidung zwischen „cohaerentischer Geometrie“ und „euklidischer Geometrie“ scheint auf einer speziellen Definition oder Interpretation zu beruhen, die in der klassi... [mehr]

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Deine Unterscheidung zwischen „cohaerentischer Geometrie“ und „euklidischer Geometrie“ scheint auf einer speziellen Definition oder Interpretation zu beruhen, die in der klassischen Mathematik so nicht üblich ist. Hier eine Klarstellung zu den Begriffen im Kontext der Geometrie: **Euklidische Geometrie:** In der klassischen euklidischen Geometrie (benannt nach Euklid) werden Punkte, Geraden, Kreise und andere Figuren durch Axiome und Konstruktionen definiert. Kurven wie Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln sind in der euklidischen Geometrie durchaus bekannt und können konstruiert werden, etwa als Schnitt von Kegeln mit Ebenen (Kegelschnitte). Die euklidische Geometrie beschränkt sich also nicht nur auf Geraden und Kreise, sondern umfasst auch andere Kurven, sofern sie mit Zirkel und Lineal oder durch Gleichungen beschrieben werden können. **Kurvenerzeugung im kartesischen System:** Im kartesischen Koordinatensystem (analytische Geometrie) werden Kurven wie Geraden, Parabeln, Kreise usw. durch Gleichungen beschrieben. Hier ist die „Erzeugung“ von Kurven durch Veränderung von Parametern oder Gleichungen möglich und anschaulich. **Cohaerentische Geometrie:** Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht standardisiert oder weit verbreitet. Falls du damit eine Geometrie meinst, in der Kurven systematisch von der Geraden bis zur Parabel (und darüber hinaus) erzeugt werden, dann bezieht sich das vermutlich auf die analytische oder algebraische Herangehensweise, bei der Kurven durch Gleichungen konstruiert werden. **Zusammenfassung:** - In der **euklidischen Geometrie** sind Kurven wie Parabeln, Kreise usw. durchaus Teil des Systems und können konstruiert werden. - Im **kartesischen System** (analytische Geometrie) werden Kurven durch Gleichungen erzeugt und beschrieben. - Der Begriff **cohaerentische Geometrie** ist nicht standardisiert; falls du damit die systematische Kurvenerzeugung meinst, entspricht das eher der analytischen Geometrie. **Fazit:** Die euklidische Geometrie kennt und konstruiert Kurven, sie sind nicht einfach „gegeben“. Die analytische Geometrie (kartesisches System) erlaubt eine systematische Erzeugung und Beschreibung von Kurven durch Gleichungen. Falls du auf eine spezielle Theorie oder Literatur Bezug nimmst, wäre eine genauere Quellenangabe hilfreich.

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathe... [mehr]

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathematik. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. im euklidischen Raum beschäftigt. Wenn du darauf hinauswillst, dass es Geometrien gibt, die nicht nur Geraden und Kreise, sondern auch Parabeln und andere Kurven wie \( y = x^2 \) oder \( y = x^3 \) als „Grundobjekte“ behandeln, dann spricht man eher von analytischer Geometrie oder von algebraischer Geometrie. In diesen Disziplinen werden allgemeine Kurven, die durch Gleichungen beschrieben werden, untersucht. **Zusammengefasst:** - Die euklidische Geometrie arbeitet mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. - In der analytischen oder algebraischen Geometrie werden auch Parabeln, Kubiken und andere Kurven betrachtet. - Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht gebräuchlich. Falls du auf eine spezielle Theorie oder ein bestimmtes Konzept hinauswillst, wäre eine genauere Begriffserklärung hilfreich.