5 Fragen zu Federschwinger

Um die Geschwindigkeit eines Federschwingers (harmonischer Oszillator) zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] Hierbei stehen die Variablen für: - \( v(t) \): Geschwindigkeit als Funktion der Zeit - \( A \): Amplitude der Schwingung - \( \omega \): Kreisfrequenz, die sich aus der Federkonstanten \( k \) und der Masse \( m \) des schwingenden Körpers ergibt (\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)) - \( t \): Zeit - \( \phi \): Phasenwinkel, der die Anfangsbedingungen der Schwingung berücksichtigt Diese Formel ergibt sich aus der Ableitung der Position des Federschwingers nach der Zeit. Die Position \( x(t) \) eines harmonischen Oszillators wird durch die Gleichung \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] beschrieben. Die Geschwindigkeit ist dann die erste Ableitung dieser Positionsfunktion nach der Zeit.

Bei einem horizontalen Federschwinger handelt es sich um eine harmonische Schwingung, die durch die gegebene Formel \( y(t) = 0.02 \, \text{m} \times \sin(\pi t) \) beschrieben wird. Hierbei ist \( y(t) \) die Auslenkung in Metern zur Zeit \( t \) in Sekunden. Die Parameter der Schwingung sind wie folgt: - **Amplitude**: Die maximale Auslenkung beträgt 0.02 m (20 mm). - **Frequenz**: Die Frequenz \( f \) kann aus der Argumentform der Sinusfunktion abgeleitet werden. Da \( \sin(\pi t) \) eine Periodenlänge von 2 hat, ist die Frequenz \( f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \, \text{s}} = 0.5 \, \text{Hz} \). - **Periodendauer**: Die Periodendauer \( T \) ist 2 Sekunden. Zusätzlich kann die Masse von 100 g (0.1 kg) in die Berechnung der Federkonstanten \( k \) einfließen, wenn die Schwingung durch eine Feder beschrieben wird. Die Federkonstante kann mit der Formel \( k = m \cdot (2\pi f)^2 \) berechnet werden. Wenn du weitere spezifische Informationen oder Berechnungen benötigst, stelle bitte eine klare und präzise Frage.

Um die Schwingungsdauer und die Federkonstante eines horizontal Federschwingers zu berechnen, können wir die gegebene Formel \( y(t) = 0.02 \, \text{m} \times \sin(\pi t) \) verwenden. 1. **Schwingungsdauer (T)**: Die allgemeine Form einer harmonischen Schwingung ist \( y(t) = A \sin(\omega t) \), wobei \( \omega \) die Kreisfrequenz ist. In deiner Formel ist \( \omega = \pi \). Die Schwingungsdauer \( T \) ist gegeben durch die Beziehung: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} \] Setzen wir \( \omega = \pi \) ein: \[ T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \, \text{s} \] 2. **Federkonstante (k)**: Die Federkonstante \( k \) kann mit der Formel für die Schwingungsdauer eines Feder-Masse-Systems in Verbindung gebracht werden: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] Umgestellt nach \( k \) ergibt sich: \[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \] Hierbei ist \( m = 100 \, \text{g} = 0.1 \, \text{kg} \) und \( T = 2 \, \text{s} \): \[ k = \frac{4\pi^2 \times 0.1}{(2)^2} = \frac{4\pi^2 \times 0.1}{4} = \pi^2 \times 0.1 \] Berechnen wir \( k \): \[ k \approx 0.1 \times 9.87 \approx 0.987 \, \text{N/m} \] Zusammenfassend: - Die Schwingungsdauer \( T \) beträgt 2 Sekunden. - Die Federkonstante \( k \) beträgt ungefähr 0.987 N/m.

Um die konstante mechanische Geschwindigkeit eines horizontalen Federschwingers zu berechnen, betrachten wir die gegebene Funktion \( y(t) = 0.02 \, \text{m} \times \sin(\pi t) \). Die Geschwindigkeit \( v(t) \) ist die Ableitung der Position \( y(t) \) nach der Zeit \( t \): \[ v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = 0.02 \, \text{m} \times \pi \cos(\pi t) \] Die maximale Geschwindigkeit tritt auf, wenn der Cosinus den Wert 1 erreicht, also: \[ v_{\text{max}} = 0.02 \, \text{m} \times \pi \] Berechne \( v_{\text{max}} \): \[ v_{\text{max}} = 0.02 \times 3.14159 \approx 0.0628 \, \text{m/s} \] Die konstante mechanische Geschwindigkeit in diesem Fall ist also \( 0.0628 \, \text{m/s} \).

Die maximale Beschleunigung eines harmonischen Oszillators kann mit der Formel \( a_{\text{max}} = \omega^2 \cdot A \) berechnet werden, wobei \( \omega \) die Kreisfrequenz und \( A \) die Amplitude ist. In der gegebenen Funktion \( y(t) = 0.02 \, \text{m} \cdot \sin(\pi t) \) ist die Amplitude \( A = 0.02 \, \text{m} \). Die Kreisfrequenz \( \omega \) kann aus der Argumentation des Sinus entnommen werden, hier ist \( \omega = \pi \, \text{rad/s} \). Setzen wir die Werte in die Formel ein: \[ a_{\text{max}} = \omega^2 \cdot A = (\pi)^2 \cdot 0.02 \, \text{m} \] \[ a_{\text{max}} = \pi^2 \cdot 0.02 \approx 0.197 \, \text{m/s}^2 \] Die maximale Beschleunigung beträgt also etwa \( 0.197 \, \text{m/s}^2 \). Die maximale Beschleunigung wird erreicht, wenn der Sinus den Wert 1 annimmt, also bei \( t = \frac{1}{2} + n \) (mit \( n \) als ganzzahliger Vielfaches von 1), was den Zeitpunkten entspricht, an denen die Masse ihre maximale Auslenkung erreicht.