5 Fragen zu Bijektiv

Die Funktion \( f: \mathbb{R} \to [-1, 1] \) mit \( f(x) = \sin(x) \) ist nicht bijektiv. Um bijektiv zu sein, muss eine Funktion sowohl injektiv (jedem Element im Zielbereich wird höchstens ein Element im Definitionsbereich zugeordnet) als auch surjektiv (jedem Element im Zielbereich wird mindestens ein Element im Definitionsbereich zugeordnet) sein. 1. **Surjektivität**: Die Funktion \( \sin(x) \) ist surjektiv auf dem Intervall \([-1, 1]\), da für jeden Wert \( y \) in diesem Intervall ein \( x \) existiert, sodass \( \sin(x) = y \). 2. **Injektivität**: Die Funktion ist jedoch nicht injektiv, da es für viele Werte von \( y \) im Intervall \([-1, 1]\) mehrere \( x \)-Werte gibt, die denselben Funktionswert ergeben. Zum Beispiel gilt \( \sin(0) = 0 \) und \( \sin(\pi) = 0 \). Da die Funktion nicht injektiv ist, ist sie insgesamt nicht bijektiv.

Ja, wenn \( Y = Z \) und \( g: Y \to Z \) eine Funktion ist, dann muss \( g \) nicht unbedingt bijektiv sein. Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv (jedes Element in \( Y \) wird auf ein unterschiedliches Element in \( Z \) abgebildet) als auch surjektiv (jedes Element in \( Z \) hat ein Urbild in \( Y \)) ist. Wenn \( Y = Z \), kann \( g \) jedoch auch nicht injektiv oder nicht surjektiv sein. Zum Beispiel könnte \( g \) eine konstante Funktion sein, die alle Elemente von \( Y \) auf ein einziges Element in \( Z \) abbildet, was nicht bijektiv wäre. Daher ist es nicht zwingend erforderlich, dass \( g \) bijektiv ist, nur weil die Mengen gleich sind.

Die gegebene Abbildung ist \( g: \mathbb{R} \to [0, \infty), x \mapsto x^2 \). 1. **Wertebereich**: Der Wertebereich von \( g \) ist \( [0, \infty) \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht negativ ist. 2. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene Eingabewerte verschiedene Ausgabewerte erzeugen. Für \( g(x_1) = g(x_2) \) gilt: \[ x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2 \text{ oder } x_1 = -x_2. \] Da es also zwei verschiedene \( x \) (z.B. \( x \) und \( -x \)) geben kann, für die \( g(x) = g(-x) \), ist die Funktion nicht injektiv. 3. **Surjektivität**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich erreicht wird. Da für jedes \( y \in [0, \infty) \) ein \( x \in \mathbb{R} \) existiert (nämlich \( x = \sqrt{y} \) oder \( x = -\sqrt{y} \)), das \( g(x) = y \) erfüllt, ist die Funktion surjektiv. 4. **Bijektivität**: Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Da \( g \) nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv. Zusammenfassend: - Wertebereich: \( [0, \infty) \) - Injektiv: Nein - Surjektiv: Ja - Bijektiv: Nein

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f': X \to f(X) \), definiert durch \( f'(x) = f(x) \), bijektiv ist, wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, müssen wir sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität von \( f' \) nachweisen. 1. **Injektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist injektiv, wenn für alle \( x_1, x_2 \in X \) gilt: Wenn \( f'(x_1) = f'(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) sein. Angenommen, \( f'(x_1) = f'(x_2) \). Das bedeutet, dass \( f(x_1) = f(x_2) \). Da \( f \) injektiv ist, folgt daraus, dass \( x_1 = x_2 \). Somit ist \( f' \) injektiv. 2. **Surjektivität von \( f' \)**: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes \( y \in f(X) \) ein \( x \in X \) existiert, sodass \( f'(x) = y \). Sei \( y \in f(X) \). Das bedeutet, dass es ein \( x \in X \) gibt, sodass \( f(x) = y \). Dann gilt \( f'(x) = f(x) = y \). Somit ist \( f' \) surjektiv. Da \( f' \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, folgt, dass \( f' \) bijektiv ist. Damit ist gezeigt, dass wenn \( f: X \to Y \) injektiv ist, dann ist auch \( f': X \to f(X) \) bijektiv.

Die Anzahl der bijektiven Funktionen zwischen zwei end Mengen mit der gleichen Anzahl von Elementen ist gleich der Anzahl der Permutationen dieser Elemente. Für die Mengen {1, 2, 3, 4, 5, 6} gibt es 6 Elemente. Die Anzahl der Permutationen von n Elementen ist n!. Daher ist die Anzahl der bijektiven Funktionen von {1, 2, 3, 4, 5, 6} nach {1, 2, 3, 4, 5, 6}: ! = 6 × 5 × 4 × 3 × × 1 = 720. Es gibt also 720 bijektive Funktionen zwischen diesen beiden Mengen.