Wann ist etwas proportional?

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Wann ist etwas proportional?

Antwort

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-cos(x) abgeleitet?

Was ist eine spannende Idee zur Einführung in Funktionen?

Welche zehn Alltagssituationen verdeutlichen in je einem Satz Proportionalität und Antiproportionalität?

Welche Alltagssituationen zeigen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge?

Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

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Etwas ist proportional, wenn zwei Größen in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen. bedeutet, dass eine Änderung in einer Größe eine gleichmäßige Änderung in der anderen Größe zur Folge hat. Mathematisch wird dies oft durch die Gleichung \( y = k \cdot x \) dargestellt, wobei \( k \) eine Konstante ist. Wenn \( x \) verdoppelt wird, verdoppelt sich auch \( y \), und das Verhältnis \( \frac{y}{x} \) bleibt konstant. Proportionalität kann in verschiedenen Kontexten auftreten, wie in der Mathematik, Physik oder Wirtschaft.

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\c... [mehr]

Accepted Answer

Die Ableitung von \(-\cos(x)\) nach \(x\) ist: \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x) \] Das Minuszeichen bleibt erhalten, und die Ableitung von \(\cos(x)\) ist \(-\sin(x)\), also: \[ -\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \sin(x) \]

Accepted Answer

Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten... [mehr]

Accepted Answer

Eine spannende Idee für das Thema „Einführung in Funktionen“ ist, das Konzept anhand einer Alltagssituation zu erklären, zum Beispiel mit einem „Getränkeautomaten“. Stelle dir vor, du wirfst eine Münze in einen Automaten und wählst ein Getränk aus. Für jede Eingabe (Münze + Auswahl) gibt der Automat genau ein Getränk aus. Das ist wie bei einer Funktion: Jeder Eingabewert (x) wird eindeutig einem Ausgabewert (f(x)) zugeordnet. Du kannst das Thema interaktiv gestalten, indem du die Lernenden eigene „Automaten-Funktionen“ erfinden lässt (z.B. „Was passiert, wenn ich eine 2 eingebe?“) oder sie verschiedene Automaten vergleichen lässt (z.B. Automaten, die für dieselbe Eingabe unterschiedliche Ausgaben liefern – das wäre dann keine Funktion). So wird das abstrakte Konzept greifbar und die Bedeutung von „eindeutiger Zuordnung“ verständlich.

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1. Je mehr Personen an einem Kuchen essen, desto kleiner wird das Kuchenstück für jeden (antiproportional). 2. Je schneller du fährst, desto kürzer dauert die Fahrt (antiproporti... [mehr]

Accepted Answer

1. Je mehr Personen an einem Kuchen essen, desto kleiner wird das Kuchenstück für jeden (antiproportional). 2. Je schneller du fährst, desto kürzer dauert die Fahrt (antiproportional). 3. Je mehr Wasser du in einen Farbstoff gibst, desto heller wird die Farbe (antiproportional). 4. Je mehr Arbeiter an einem Haus bauen, desto schneller ist es fertig (antiproportional). 5. Je mehr Seiten du in einer Stunde liest, desto weniger Zeit brauchst du für das Buch (antiproportional). 6. Je mehr Geld du pro Stunde verdienst, desto weniger Stunden musst du für einen festen Betrag arbeiten (antiproportional). 7. Je mehr Kilometer du fährst, desto mehr Benzin verbrauchst du (proportional). 8. Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr musst du bezahlen (proportional). 9. Je länger du telefonierst, desto höher wird die Telefonrechnung (proportional). 10. Je mehr Stunden du arbeitest, desto mehr Lohn bekommst du (proportional).

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Hier sind Beispiele für Alltagssituationen, in denen proportionale und antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zusammenhänge vorkommen: **Proportionale Situation:** Je mehr Äpfel d... [mehr]

Accepted Answer

Hier sind Beispiele für Alltagssituationen, in denen proportionale und antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zusammenhänge vorkommen: **Proportionale Situation:** Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr musst du bezahlen (bei gleichem Stückpreis). Beispiel: 1 Apfel kostet 0,50 €. 2 Äpfel kosten 1 €, 3 Äpfel kosten 1,50 € usw. **Antiproportionale (umgekehrt proportionale) Situation:** Je mehr Personen an einer Aufgabe arbeiten, desto weniger Zeit braucht jede Person, um die Aufgabe gemeinsam zu erledigen (bei gleichmäßiger Arbeitsteilung). Beispiel: Eine Aufgabe dauert alleine 4 Stunden. Zu zweit dauert sie 2 Stunden, zu viert nur 1 Stunde. **Zusammengefasst:** - **Proportional:** Mehr von A → mehr von B (z. B. Menge und Preis) - **Antiproportional:** Mehr von A → weniger von B (z. B. Personen und benötigte Zeit) Weitere Infos zu diesen Zusammenhängen findest du z. B. auf [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/1552/proportionalitaet-und-antiproportionalitaet).

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).