Was ist ein totales Differential?

Ein totales Differential ist ein Konzept aus der Differentialrechnung, das verwendet wird, um die Änderung einer Funktion in mehreren Variablen zu beschreiben. Wenn du eine Funktion \( f(x, y, \ldots) \) hast, die von mehreren Variablen abhängt, dann ist das totale Differential \( df \) eine lineare Approximation der Änderung von \( f \) in Abhängigkeit von den Änderungen der Variablen \( x, y, \ldots \).

Mathematisch ausgedrückt, wenn \( f \) eine Funktion von \( n \) Variablen \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) ist, dann ist das totale Differential \( df \) gegeben durch:

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n \]

Hierbei sind \( \frac{\partial f}{\partial x_i} \) die partiellen Ableitungen von \( f \) bezüglich der Variablen \( x_i \), und \( dx_i \) sind die infinitesimalen Änderungen der Variablen \( x_i \).

Das totale Differential gibt also eine Näherung für die Änderung der Funktion \( f \), wenn sich die Variablen \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) um kleine Beträge \( dx_1, dx_2, \ldots, dx_n \) ändern.