Die Punkte p' (8 I 1) und Q’ (-1 I 1) sind die Bilder von P (4 I -1) bzw. Q (1 I -1). Bestimme das Streckzentrum Z sowie den Streckfaktor k.

Um das Streckzentrum \( Z \) und den Streckfaktor \( k \) zu bestimmen, kannst du die folgenden Schritte ausführen:

1. **Bestimme den Streckfaktor \( k \):**

Der Streckfaktor \( k \) ist das Verhältnis der Abstände der Bildpunkte zu den Originalpunkten. Du kannst \( k \) berechnen, indem du die Differenz der Koordinaten der Bildpunkte durch die Differenz der Koordinaten der Originalpunkte teilst.

Für die x-Koordinaten:
\[
k_x = \frac{8 - (-1)}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3
\]

Für die y-Koordinaten:
\[
k_y = \frac{1 - 1}{-1 - (-1)} = \frac{0}{0}
\]

Da die y-Koordinaten unverändert bleiben, ist der Streckfaktor \( k \) nur durch die x-Koordinaten bestimmt:
\[
k = 3
\]

2. **Bestimme das Streckzentrum \( Z \):**

Das Streckzentrum \( Z \) liegt auf der Geraden, die durch die Originalpunkte und ihre Bildpunkte verläuft. Du kannst \( Z \) finden, indem du die Gleichung der Geraden aufstellst und den Punkt \( Z \) bestimmst, der die Streckung um den Faktor \( k \) erfüllt.

Die Gleichung der Geraden durch \( P \) und \( P' \) lautet:
\[
y - (-1) = \frac{1 - (-1)}{8 - 4} (x - 4)
\]
\[
y + 1 = \frac{2}{4} (x 4)
\]
\[
y + 1 =frac{1}{2} (x - 4)
\]
\[
y + 1 = \frac{1}{2}x - 2
\]
\[
y = \frac{1}{2}x - 3
\]

Setze \( k = 3 \) in die Streckungsformel ein:
\[
Z_x = \frac{P'_x - k \cdot P_x}{1 - k} = \frac{8 - 3 \cdot 4}{1 - 3} = \frac{8 - 12}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2
\]
\[
Z_y = \frac{P'_y - k \cdot P_y}{1 - k} = \frac{1 - 3 \cdot (-1)}{1 - 3} = \frac{1 + 3}{-2} = \frac{4}{-2} = -2
\]

Das Streckzentrum \( Z \) ist also:
\[
Z (2 | -2)
\]

Zusammengefasst:
- Das Streckzentrum \( Z \) ist \( (2 | -2) \).
- Der Streckfaktor \( k \) ist \( 3 \).