Für welche Zahlen n lassen die Quadratzahlen bei Division durch 8 den Rest 0?

Ja, das kann ich. Um zu beweisen, für welche Zahlen \( n \) die Quadratzahlen \( n^2 \) bei Division durch 8 den Rest 0 lassen, können wir die möglichen Reste \( n \) bei Division durch 8 betrachten. Diese Reste sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Wir untersuchen nun die Quadrate dieser Reste modulo 8:

1. \( n \equiv 0 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{8}
\]

2. \( n \equiv 1 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{8}
\]

3. \( n \equiv 2 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{8}
\]

4. \( n \equiv 3 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8}
\]

5. \( n \equiv 4 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 0 \pmod{8}
\]

6. \( n \equiv 5 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{8}
\]

7. \( n \equiv 6 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 6^2 \equiv 36 \equiv 4 \pmod{8}
\]

8. \( n \equiv 7 \pmod{8} \)
\[
n^2 \equiv 7^2 \equiv 49 \equiv 1 \pmod{8}
\]

Aus diesen Berechnungen sehen wir, dass \( n^2 \equiv 0 \pmod{8} \) nur dann gilt, wenn \( n \equiv 0 \pmod{8} \) oder \( n \equiv 4 \pmod{8} \). Das bedeutet, dass \( n \) eine Zahl der Form \( 8k \) oder \( 8k + 4 \) sein muss, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.