Welche ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen dargestellt werden kann?

Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann.

Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). Deren Quadrate sind:
\[
(n-1)^2, \quad n^2, \quad (n+1)^2
\]

Die Summe ist:
\[
(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1)
\]
\[
= n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1
\]
\[
= 3n^2 + 2
\]

Nun suchen wir die kleinste Primzahl, die sich als \( 3n^2 + 2 \) schreiben lässt.

Setze n = 1:
\[
3 \cdot 1^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \quad \text{(Primzahl)}
\]

Setze n = 2:
\[
3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14 \quad \text{(keine Primzahl)}
\]

Setze n = 3:
\[
3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29 \quad \text{(Primzahl)}
\]

Die kleinste ist also **5**.

**Antwort:**
Die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann, ist **5**.