Wie viele Prozent der Probanden befinden sich im Intervall -0.5 bis 0.5 bei f(x) = -X^2 + 0.83?

Um den Prozents der Probanden zu, sich im Intervall -0.5 0.5 für gegebene Funktion f(x) =x^2 +0.83 \ befinden, muss zunächst die unter der Kurve dieses Intervallschnet werden. Diesieht durch Integration der über das gegeb Intervall.

Die Funktion f(x) =x^2 +0.83 \ ist eine Parabel, nach unten geöffnet ist Um die Fläche unter Kurve von \( = -0. \) bis \( x 0.5) zu berechnen wird das bestimmte Integral Funktion über dieses Inter berechnet:

\[ \_{-0.}^{0.5 (-x^2 0.83), dx \]

Integral kann in zwei aufgeteilt werden:

\int_{-.5}^{0.} -x^2 \, dx +int_{-0.5}^{0.5} 0.83, dx \]

Berechne zunächst das Integral von \( -x2 \):

\[ \int_{-0.5}^{0.5 -x^2 \, dx = -\left[ \frac{x3}{3} \right]_{-0.5}^{05} = -\left( \frac{(0.5)^}{3} - \frac{(-0.5)^3}{3 \right) = -\left( \frac{0.125}{} - \frac{-0.125}{3} \right) -\left( \frac{0.125 + 0.1253} \right) = -\left( \frac{0.}{3} \right) = -\frac{1}{12 \]

Nun das Integral von \( 0.83 \):

\[ \_{-0.5}^{0.5} 0.83 \ dx = 0.83 \left[ x \right]_{0.5}^{0.5} = 0.83 (05 - (-0.5)) = 0.83 \cdot1 = 0.83 \]

Die Gesamtfläche unter der Kurve ist dann:

\[ 0.83 - \frac{1}{12 = 0.83 - 0.0833 = 0.7 \]

Da die Funktion \( f(x) = -x^2 0.83 \) eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dar, entspricht die Fläche unter der Kurve im Intervall von -0. bis 0.5 dem Prozentsatz der Probanden in Intervall. Daher befinden sich etwa 74.67% der Proband in dem Intervall von -0.5 bis 0.5.