Löse die binomische Formel (4k+3n)^4.

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Löse die binomische Formel (4k+3n)^4.

Antwort

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Um die binomische Formel \((4k + 3n)^4\) zu lösen, kannst du die allgemeine Form der binomischen Erweiterung verwenden, die lautet: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] In diesem Fall ist \(a = 4k\), \(b = 3n\) und \(n = 4\). Die binomische Koeffizienten \(\binom{n}{k}\) sind die Werte, die die Anzahl der Möglichkeiten darstellen, \(k\) Elemente aus \(n\) auszuwählen. Die vollständige Entwicklung von \((4k + 3n)^4\) ergibt: \[ (4k + 3n)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (4k)^{4-k} (3n)^k \] Das ergibt: \[ = \binom{4}{0} (4k)^4 (3n)^0 + \binom{4}{1} (4k)^3 (3n)^1 + \binom{4}{2} (4k)^2 (3n)^2 + \binom{4}{3} (4k)^1 (3n)^3 + \binom{4}{4} (4k)^0 (3n)^4 \] Nun berechnen wir die einzelnen Terme: 1. \( \binom{4}{0} (4k)^4 = 1 \cdot 256k^4 = 256k^4 \) 2. \( \binom{4}{1} (4k)^3 (3n) = 4 \cdot 64k^3 \cdot 3n = 768k^3n \) 3. \( \binom{4}{2} (4k)^2 (3n)^2 = 6 \cdot 16k^2 \cdot 9n^2 = 864k^2n^2 \) 4. \( \binom{4}{3} (4k)(3n)^3 = 4 \cdot 4k \cdot 27n^3 = 432kn^3 \) 5. \( \binom{4}{4} (3n)^4 = 1 \cdot 81n^4 = 81n^4 \) Jetzt fügen wir alle Terme zusammen: \[ (4k + 3n)^4 = 256k^4 + 768k^3n + 864k^2n^2 + 432kn^3 + 81n^4 \] Das ist die vollständige Entwicklung der binomischen Formel \((4k + 3n)^4\).

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Die Aufgabe lautet: \( x^8 \cdot 9x^{-3} \) Zuerst die Potenzen mit gleicher Basis (x) zusammenfassen: \( x^8 \cdot x^{-3} = x^{8 + (-3)} = x^5 \) Dann bleibt noch die 9 als Faktor: \( 9 \cdot x... [mehr]

Accepted Answer

Die Aufgabe lautet: \( x^8 \cdot 9x^{-3} \) Zuerst die Potenzen mit gleicher Basis (x) zusammenfassen: \( x^8 \cdot x^{-3} = x^{8 + (-3)} = x^5 \) Dann bleibt noch die 9 als Faktor: \( 9 \cdot x^5 \) Das Ergebnis ist also: \[ 9x^5 \]

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Um den Prozentsatz zu berechnen, verwendest du folgende Formel: \[ \text{Prozentsatz} = \left( \frac{\text{Teilwert}}{\text{Gesamtwert}} \right) \times 100 \] In deinem Fall: \[ \text{Prozentsatz}... [mehr]

Accepted Answer

Um den Prozentsatz zu berechnen, verwendest du folgende Formel: \[ \text{Prozentsatz} = \left( \frac{\text{Teilwert}}{\text{Gesamtwert}} \right) \times 100 \] In deinem Fall: \[ \text{Prozentsatz} = \left( \frac{1700}{100000} \right) \times 100 = 1,7\% \] 1700 sind also **1,7 %** von 100000.

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Die Formel für die Standardabweichung (σ) einer Grundgesamtheit lautet: \[ \sigma \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \] Dabei gilt: - \( N \): Anzahl der Werte - \( x_i \):... [mehr]

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Die Formel für die Standardabweichung (σ) einer Grundgesamtheit lautet: \[ \sigma \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2} \] Dabei gilt: - \( N \): Anzahl der Werte - \( x_i \): Einzelner Wert - \( \mu \): Mittelwert der Werte Für eine Stichprobe (statt der Grundgesamtheit) wird meist folgende Formel verwendet: \[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \] Hierbei ist \( n \) die Stichprobengröße und \( \bar{x} \) der Stichprobenmittelwert.

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Wenn dir der Winkel \(\alpha\) (in Grad oder Bogenmaß) und der Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors gegeben sind, kannst du den Radius \(r\) mit folgender Formel berechnen: **Formel:**... [mehr]

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Wenn dir der Winkel \(\alpha\) (in Grad oder Bogenmaß) und der Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors gegeben sind, kannst du den Radius \(r\) mit folgender Formel berechnen: **Formel:** \[ A_a = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] **Umgestellt nach \(r\):** \[ r = \sqrt{ \frac{A_a \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} } \] **Hinweis:** - Wenn der Winkel \(\alpha\) im Bogenmaß (\(\text{rad}\)) gegeben ist, lautet die Formel: \[ A_a = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} r^2 \] Umgestellt nach \(r\): \[ r = \sqrt{ \frac{2A_a}{\alpha} } \] **Achte darauf, dass der Winkel und die Formel zueinander passen (Grad oder Bogenmaß)!**

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Die Integralrechnung spielte eine entscheidende Rolle bei der Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Historisch wurde der Flächeninhalt eines Kreises zwar schon in d... [mehr]

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Die Integralrechnung spielte eine entscheidende Rolle bei der Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Historisch wurde der Flächeninhalt eines Kreises zwar schon in der Antike mit geometrischen Methoden (z. B. Archimedes’ Exhaustionsmethode) bestimmt, aber die moderne, exakte Herleitung nutzt die Integralrechnung. **So funktioniert es:** Stell dir einen Kreis mit dem Radius \( r \) vor. Um den Flächeninhalt \( A \) zu berechnen, kann man die Fläche als Summe unendlich vieler, unendlich dünner Kreisringe (Differentialflächen) betrachten. 1. **Kreisring als Differentialfläche:** Ein dünner Kreisring in Abstand \( x \) vom Mittelpunkt hat die Breite \( dx \) und den Umfang \( 2\pi x \). Die Fläche dieses Rings ist also \( dA = 2\pi x\,dx \). 2. **Integration über den Radius:** Um die gesamte Fläche zu erhalten, integriert man von \( x = 0 \) bis \( x = r \): \[ A = \int_0^r 2\pi x\,dx \] 3. **Berechnung des Integrals:** \[ A = 2\pi \int_0^r x\,dx = 2\pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^r = 2\pi \cdot \frac{1}{2} r^2 = \pi r^2 \] **Fazit:** Die Integralrechnung ermöglicht es, die Kreisfläche exakt als Grenzwert einer Summe unendlich vieler kleiner Flächen zu berechnen. So liefert sie eine elegante und allgemeingültige Herleitung der bekannten Formel \( A = \pi r^2 \).

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Die Differenz \( x^2 - y^2 \) kann als sogenannte "Differenz zweier Quadrate" geschrieben werden. Sie lässt sich faktorisieren zu: \[ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \] Das ist eine grundlegende algebraische Identität.

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In der Mathematik spricht man in der Regel nicht von der „Definition einer Formel“, sondern unterscheidet zwischen den Begriffen „Formel“ und „Definition“: - **For... [mehr]

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In der Mathematik spricht man in der Regel nicht von der „Definition einer Formel“, sondern unterscheidet zwischen den Begriffen „Formel“ und „Definition“: - **Formel**: Formel ist ein mathematischer Ausdruck, der eine Beziehung zwischen verschiedenen Größen oder Variablen beschreibt, zum Beispiel \( a^2 + b^2 = c^2 \) (Satz des Pythagoras). - **Definition**: Eine Definition legt fest, was unter einem bestimmten mathematischen Begriff oder Objekt zu verstehen ist, zum Beispiel: „Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.“ Man kann also sagen, dass Formeln verwendet werden, um mathematische Zusammenhänge darzustellen, während Definitionen Begriffe präzise festlegen. Es ist unüblich, von der „Definition einer Formel“ zu sprechen. Stattdessen spricht man von der „Herleitung“, „Aufstellung“ oder „Verwendung“ einer Formel. Definitionsgemäß werden Begriffe, nicht Formeln, definiert.

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Um Prozente zu berechnen, kannst du folgende Grundformeln nutzen: 1. **Prozentwert berechnen:** Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz / 100 Beispiel: 20 % von 150 = 150 × 20 / 1... [mehr]

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Um Prozente zu berechnen, kannst du folgende Grundformeln nutzen: 1. **Prozentwert berechnen:** Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz / 100 Beispiel: 20 % von 150 = 150 × 20 / 100 = 30 2. **Prozentsatz berechnen:** Prozentsatz = (Prozentwert / Grundwert) × 100 Beispiel: 30 von 150 = (30 / 150) × 100 = 20 % 3. **Grundwert berechnen:** Grundwert = Prozentwert × 100 / Prozentsatz Beispiel: 30 sind 20 % von welchem Wert? 30 × 100 / 20 = 150 **Tipp:** Prozente sind immer Anteile von 100. 1 % entspricht 1/100 oder 0,01. Weitere Infos findest du z. B. bei [Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/prozentrechnung).

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\[ (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Zuerst kannst du die Potenzen zusammenfassen: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Das ist das gleiche wie: \[ = (5/7)^{17} \times... [mehr]

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\[ (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Zuerst kannst du die Potenzen zusammenfassen: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} \] Das ist das gleiche wie: \[ = (5/7)^{17} \times (7/5)^{19} = (5/7)^{17} \times (7/5)^{17} \times (7/5)^{2} \] Da \((5/7)^{17} \times (7/5)^{17} = 1\): \[ = 1 \times (7/5)^2 = (7/5)^2 = 49/25 \] **Vereinfacht ergibt der Ausdruck:** \[ \boxed{\dfrac{49}{25}} \]

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Die Rechenaufgabe **540 : 9 : 12** kannst du kürzer als **540 : (9 × 12)** oder **540 : 108** darstellen. Das bedeutet: 540 geteilt durch 9 und das Ergebnis nochmal geteilt durch 12 ist... [mehr]

Accepted Answer

Die Rechenaufgabe **540 : 9 : 12** kannst du kürzer als **540 : (9 × 12)** oder **540 : 108** darstellen. Das bedeutet: 540 geteilt durch 9 und das Ergebnis nochmal geteilt durch 12 ist dasselbe wie 540 geteilt durch 108.