2 Fragen zu Kreisausschnitt

Um die Bogenlänge und den Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts zu berechnen, sind einige Umrechnungen und Formeln notwendig. Zunächst müssen die Einheiten konsistent sein. Der Flächeninhalt \( A \) ist in Quadratmetern gegeben, während der Radius \( r \) in Zentimetern angegeben ist. Daher muss der Flächeninhalt in Quadratzentimeter umgerechnet werden: \[ 18 \, \text{m}^2 = 18 \times 10^4 \, \text{cm}^2 = 180000 \, \text{cm}^2 \] Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts lautet: \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \] wobei \( \theta \) der Mittelpunktswinkel in Radiant ist. Setze die gegebenen Werte ein: \[ 180000 = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \theta \] \[ 180000 = 18 \theta \] Löse nach \( \theta \) auf: \[ \theta = \frac{180000}{18} = 10000 \, \text{Radiant} \] Nun zur Bogenlänge \( s \). Die Formel für die Bogenlänge lautet: \[ s = r \theta \] Setze die Werte ein: \[ s = 6 \times 10000 = 60000 \, \text{cm} \] Zusammengefasst: - Der Mittelpunktswinkel \( \theta \) beträgt \( 10000 \) Radiant. - Die Bogenlänge \( s \) beträgt \( 60000 \) cm.

Wenn dir der Winkel \(\alpha\) (in Grad oder Bogenmaß) und der Flächeninhalt \(A_a\) eines Kreissektors gegeben sind, kannst du den Radius \(r\) mit folgender Formel berechnen: **Formel:** \[ A_a = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] **Umgestellt nach \(r\):** \[ r = \sqrt{ \frac{A_a \cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi} } \] **Hinweis:** - Wenn der Winkel \(\alpha\) im Bogenmaß (\(\text{rad}\)) gegeben ist, lautet die Formel: \[ A_a = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} r^2 \] Umgestellt nach \(r\): \[ r = \sqrt{ \frac{2A_a}{\alpha} } \] **Achte darauf, dass der Winkel und die Formel zueinander passen (Grad oder Bogenmaß)!**