Wie trug die Integralrechnung zur Entwicklung der Kreisflächenformel bei?

Die Integralrechnung spielte eine entscheidende Rolle bei der Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises. Historisch wurde der Flächeninhalt eines Kreises zwar schon in der Antike mit geometrischen Methoden (z. B. Archimedes’ Exhaustionsmethode) bestimmt, aber die moderne, exakte Herleitung nutzt die Integralrechnung.

**So funktioniert es:**

Stell dir einen Kreis mit dem Radius \( r \) vor. Um den Flächeninhalt \( A \) zu berechnen, kann man die Fläche als Summe unendlich vieler, unendlich dünner Kreisringe (Differentialflächen) betrachten.

1. **Kreisring als Differentialfläche:**
Ein dünner Kreisring in Abstand \( x \) vom Mittelpunkt hat die Breite \( dx \) und den Umfang \( 2\pi x \).
Die Fläche dieses Rings ist also \( dA = 2\pi x\,dx \).

2. **Integration über den Radius:**
Um die gesamte Fläche zu erhalten, integriert man von \( x = 0 \) bis \( x = r \):
\[
A = \int_0^r 2\pi x\,dx
\]

3. **Berechnung des Integrals:**
\[
A = 2\pi \int_0^r x\,dx = 2\pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^r = 2\pi \cdot \frac{1}{2} r^2 = \pi r^2
\]

**Fazit:**
Die Integralrechnung ermöglicht es, die Kreisfläche exakt als Grenzwert einer Summe unendlich vieler kleiner Flächen zu berechnen. So liefert sie eine elegante und allgemeingültige Herleitung der bekannten Formel \( A = \pi r^2 \).