1 Frage zu Laenge

Um das Dreieck mit den gegebenen Werten zu konstruieren (a = 5 cm, β = 47°, ha = 3,7 cm), gehst du wie folgt vor: **1. Zeichne die Seite a:** Zeichne eine Strecke AB mit der Länge 5 cm. **2. Errichte die Höhe ha:** Errichte im rechten Winkel auf AB in einem Punkt H die Höhe ha = 3,7 cm. Da die Höhe auf a steht, liegt H irgendwo auf AB. **3. Bestimme die Lage des Punktes C:** Der Punkt C muss so liegen, dass die Strecke von C auf AB die Höhe ha = 3,7 cm ist und der Winkel bei B β = 47° beträgt. **Konstruktion:** - Zeichne auf AB einen beliebigen Punkt H. - Errichte im rechten Winkel auf AB durch H eine Strecke von 3,7 cm (das ist die Höhe). - Der Punkt C liegt auf dieser Geraden. - Nun muss der Winkel bei B 47° betragen. Zeichne dazu in B einen Winkel von 47° zur Strecke BA. - Der Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden mit der Höhe ist der Punkt C. **4. Miss die Seite c (Strecke AC):** Nachdem du das Dreieck konstruiert hast, miss die Strecke AC. Da du das Dreieck nicht wirklich gezeichnet hast, kann die Länge von c auch rechnerisch bestimmt werden. **Rechnerische Lösung:** Gegeben: - a = 5 cm (Seite BC) - β = 47° (Winkel bei B) - ha = 3,7 cm (Höhe auf a) Die Fläche des Dreiecks kann auf zwei Arten berechnet werden: 1. \( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \) 2. \( A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha) \) (nicht direkt nutzbar, da b und α unbekannt) Berechne die Fläche: \( A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3,7 = 9,25\,\text{cm}^2 \) Setze den Sinussatz ein, um c zu berechnen. Dazu benötigst du noch einen weiteren Winkel oder eine Seite. Nutze die Definition der Höhe: \( h_a = c \cdot \sin(\beta) \) Setze die Werte ein: \( 3,7 = c \cdot \sin(47^\circ) \) \( c = \frac{3,7}{\sin(47^\circ)} \) \( c \approx \frac{3,7}{0,7314} \) \( c \approx 5,06\,\text{cm} \) **Antwort:** Die Seitenlänge \( c \) beträgt etwa **5,1 cm** (auf eine Nachkommastelle gerundet).