Wie berechnet man die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras?

Um die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

1. **Teile das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke:**
- Ein gleichseitiges Dreieck hat alle Seiten gleich lang. Wenn du eine Höhe einzeichnest, teilst du das Dreieck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

2. **Benenne die Seiten:**
- Sei \( a \) die Länge einer Seite des gleichseitigen Dreiecks.
- Die Höhe \( h \) teilt die Basis in zwei Hälften, also hat jede Hälfte die Länge \( \frac{a}{2} \).

3. **Verwende den Satz des Pythagoras:**
- In einem der rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse die Seite des gleichseitigen Dreiecks \( a \), und die beiden Katheten sind \( \frac{a}{2} \) und \( h \).
- Der Satz des Pythagoras lautet: \( a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \).

4. **Löse die Gleichung nach \( h \) auf:**
- \( a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \)
- \( a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 \)
- \(^2 - \frac{a^2}{4} = h^2 \)
- \( \{3a^2}{4} = h^2 \)
- \( h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \)
- \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Also ist die Höhe \( h \) eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge \( a \) gleich \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).