3 Fragen zu Gleichseitiges

Ein gleichseitiges Dreieck kann nicht rechtwinklig sein. In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle Innenwinkel betragen 60 Grad. Ein rechtwinkliges Dreieck hingegen hat einen Winkel von 90 Grad. Daher schließen sich diese beiden Eigenschaften gegenseitig aus.

Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Größen wie folgt berechnen: **1. Umfang (U):** \[ U = 3a \] **2. Höhe (h):** \[ h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \] **3. Fläche (A):** \[ A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] **Beispiel:** Gegeben ist die Seitenlänge \( a = 6\,\text{cm} \). - Umfang: \( U = 3 \times 6 = 18\,\text{cm} \) - Höhe: \( h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 5{,}20\,\text{cm} \) - Fläche: \( A = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \) Mit diesen Formeln kannst du alle wichtigen Größen eines gleichseitigen Dreiecks berechnen, wenn du eine Seitenlänge kennst.

Um die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Teile das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke:** - Ein gleichseitiges Dreieck hat alle Seiten gleich lang. Wenn du eine Höhe einzeichnest, teilst du das Dreieck in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. 2. **Benenne die Seiten:** - Sei \( a \) die Länge einer Seite des gleichseitigen Dreiecks. - Die Höhe \( h \) teilt die Basis in zwei Hälften, also hat jede Hälfte die Länge \( \frac{a}{2} \). 3. **Verwende den Satz des Pythagoras:** - In einem der rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse die Seite des gleichseitigen Dreiecks \( a \), und die beiden Katheten sind \( \frac{a}{2} \) und \( h \). - Der Satz des Pythagoras lautet: \( a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \). 4. **Löse die Gleichung nach \( h \) auf:** - \( a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \) - \( a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 \) - \(^2 - \frac{a^2}{4} = h^2 \) - \( \{3a^2}{4} = h^2 \) - \( h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \) - \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) Also ist die Höhe \( h \) eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge \( a \) gleich \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).