Kannst du die Gleichung x³+x²+4x+30=0 lösen?

Um die Gleichung \( x^3 + x^2 + 4x + 30 = 0 \) zu lösen, kann man verschiedene Methoden anwenden, wie z.B. die Faktorisierung oder die Anwendung des Horner-Schemas. Eine numerische Lösung oder graphische Methode könnte ebenfalls hilfreich sein. Zunächst kann man versuchen, durch Raten eine rationale Lösung zu finden. Ein möglicher Ansatz ist, die Rationalen Wurzelsätze zu verwenden, um mögliche Lösungen zu testen. Nach einigen Tests stellt sich heraus, dass \( x = -3 \) eine Lösung ist. Damit kann die Gleichung faktorisieren: 1. Dividiere \( x^3 + x^2 + 4x + 30 \) durch \( x + 3 \) (da \( x = -3 \) eine Lösung ist). 2. Das Ergebnis der Division ist \( x^2 - 2x + 10 \). Nun haben wir: \[ x^3 + x^2 + 4x + 30 = (x + 3)(x^2 - 2x + 10) \] Jetzt müssen wir die quadratische Gleichung \( x^2 - 2x + 10 = 0 \) lösen. Die Diskriminante \( D \) ist: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 \] Da die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese können mit der Mitternachtsformel gefunden werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{2 \pm 6i}{2} = 1 \pm 3i \] Zusammenfassend sind die Lösungen der Gleichung \( x^3 + x^2 + 4x + 30 = 0 \): 1. \( x = -3 \) (reelle Lösung) 2. \( x = 1 + 3i \) (komplexe Lösung) 3. \( x = 1 - 3i \) (komplexe Lösung)