Wie oft kann die Funktion f(x)=e^2x abgeleitet werden?

Die Funktion \( f(x) = e^{2x} \) kann wie folgt abgeleitet werden:

1. Erste Ableitung:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) = 2e^{2x}
\]

2. Zweite Ableitung:
\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x}) = 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x}
\]

3. Dritte Ableitung:
\[
f'''(x) = \frac{d}{dx}(4e^{2x}) = 4 \cdot 2e^{2x} = 8e^{2x}
\]

4. Vierte Ableitung:
\[
f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}(8e^{2x}) = 8 \cdot 2e^{2x} = 16e^{2x}
\]

Die Ableitungen folgen dem Muster \( f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x} \). Daher kann die Funktion beliebig oft abgeleitet werden, und die n-te Ableitung ist:

\[
f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}
\]