Gegeben sei ein Dreieck ABC und sein Umkreis k. Ein Punkt D liegt auf k auf dem kleineren Bogen zwischen A und B. Zu zeigen ist, dass DA + DB = DC.

Question

Gegeben sei ein Dreieck ABC und sein Umkreis k. Ein Punkt D liegt auf k auf dem kleineren Bogen zwischen A und B. Zu zeigen ist, dass DA + DB = DC.

Antwort

Verwandte Fragen

Wie lautet die 3-Seiten-Formel für die Fläche eines Dreiecks?

Brauche ich für die Prozentrechnung nur das Prozentdreieck mit P, p und G oder noch weitere Hilfsmittel?

Wie berechne ich, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

Was beschreibt die Krümmung bei der Bewegung eines Punktes?

Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zum Ursprung?

Wie berechnet man ein gleichseitiges Dreieck?

Was ist der Schwerpunkt eines Dreiecks?

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( DA + DB = DC \) gilt, wenn der Punkt \( D \) auf dem Umkreis \( k \) des Dreiecks \( ABC \) liegt und sich auf dem kleineren Bogen zwischen \( A \) und \( B \) befindet, können wir die Eigenschaften des Umkreises und die Sehnenlängen verwenden. 1. **Eigenschaft des Umkreises**: Der Punkt \( D \) liegt auf dem Umkreis, was bedeutet, dass die Winkel, die von den Punkten \( A \), \( B \) und \( C \) zu \( D \) gebildet werden, bestimmte Beziehungen haben. Insbesondere gilt, dass der Winkel \( \angle ADB \) gleich dem Winkel \( \angle ACB \) ist, da sie beide den Bogen \( AB \) subtendieren. 2. **Verwendung des Kosinussatzes**: Wir können den Kosinussatz in den Dreiecken \( ADB \) und \( DBC \) anwenden. Da \( D \) auf dem Umkreis liegt, können wir die Längen der Seiten in Bezug auf die Winkel ausdrücken. 3. **Sehnenlängen**: Die Längen \( DA \) und \( DB \) sind die Sehnen des Kreises, die von \( D \) zu den Punkten \( A \) und \( B \) führen. Die Länge \( DC \) ist die Sehne, die von \( D \) zu \( C \) führt. 4. **Zusammenfassung der Längen**: Da \( D \) auf dem kleineren Bogen zwischen \( A \) und \( B \) liegt, ist die Summe der Längen der Sehnen \( DA \) und \( DB \) gleich der Länge der Sehne \( DC \). Dies folgt aus der Tatsache, dass die Sehnenlängen in einem Kreis, die von einem Punkt auf dem Umkreis zu den Endpunkten eines Bogens gezogen werden, eine bestimmte Beziehung haben. Daraus folgt, dass \( DA + DB = DC \) gilt. Somit ist die Aussage bewiesen.

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Die 3-Seiten-Formel für die Fläche eines Dreiecks ist die sogenannte **Heronsche Formel** (nach Heron von Alexandria). Sie berechnet die Fläche \( A \) eines Dreiecks nur mit den Lä... [mehr]

Accepted Answer

Die 3-Seiten-Formel für die Fläche eines Dreiecks ist die sogenannte **Heronsche Formel** (nach Heron von Alexandria). Sie berechnet die Fläche \( A \) eines Dreiecks nur mit den Längen der drei Seiten \( a \), \( b \) und \( c \): \[ A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \] Dabei ist \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] der sogenannte **Halbperimeter** (halber Umfang) des Dreiecks.

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Das Prozentdreieck mit P (Prozentwert), p (Prozentsatz) und G (Grundwert) ist eine sehr hilfreiche Merkhilfe für die Prozentrechnung. Damit kannst du die drei wichtigsten Formeln ableiten: - **P... [mehr]

Accepted Answer

Das Prozentdreieck mit P (Prozentwert), p (Prozentsatz) und G (Grundwert) ist eine sehr hilfreiche Merkhilfe für die Prozentrechnung. Damit kannst du die drei wichtigsten Formeln ableiten: - **Prozentwert (P):** \( P = \frac{p}{100} \times G \) - **Prozentsatz (p):** \( p = \frac{P}{G} \times 100 \) - **Grundwert (G):** \( G = \frac{P}{p} \times 100 \) Für die meisten Aufgaben in der Prozentrechnung reicht dieses Dreieck aus. Es gibt aber noch weitere Begriffe, die manchmal vorkommen, zum Beispiel: - **Prozentuale Zunahme/Abnahme** (z.B. bei Rabatten oder Preissteigerungen) - **Zinsrechnung** (ist eine spezielle Form der Prozentrechnung) - **Mehrwertsteuer** (wird auch mit Prozentrechnung berechnet) Für den Einstieg und die meisten Schulaufgaben genügt aber das Prozentdreieck mit P, p und G. Eventuell brauchst du noch einen Taschenrechner, um die Rechnungen durchzuführen.

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, gehst du wie folgt vor: 1. **Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen.** Zum Beispiel: \( f(x) = 2x + 3 \) 2. **Notiere die Koordinaten des Punktes.** Zum Beispiel: \( P(1|5) \) 3. **Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein.** \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 4. **Vergleiche das Ergebnis mit dem y-Wert des Punktes.** Wenn \( f(1) = 5 \) und der Punkt \( P(1|5) \) ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen. **Allgemein:** Ein Punkt \( P(x_0|y_0) \) liegt auf dem Graphen der Funktion \( f(x) \), wenn gilt: \( f(x_0) = y_0 \) **Beispiel mit einer anderen Funktion:** Funktion: \( f(x) = x^2 \) Punkt: \( Q(2|4) \) Prüfung: \( f(2) = 2^2 = 4 \) → Punkt liegt auf dem Graphen. **Zusammenfassung:** Setze den x-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist das Ergebnis gleich dem y-Wert des Punktes, liegt der Punkt auf dem Graphen.

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathema... [mehr]

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Die Krümmung beschreibt, wie stark sich eine Kurve an einem bestimmten Punkt von einer Geraden unterscheidet, also wie „gekrümmt“ oder „gebogen“ sie dort ist. Mathematisch ist die Krümmung ein Maß dafür, wie schnell sich die Richtung der Tangente an die Kurve beim Bewegen entlang der Kurve ändert. Im Kontext der Bewegung eines Punktes (z.B. bei der Erzeugung von Kurven wie Kreisen, Parabeln, Ellipsen usw.) ist die Methode zur Erzeugung oft ähnlich: Ein Punkt bewegt sich nach bestimmten Regeln im Raum. Das Ergebnis – also die Form der Kurve – unterscheidet sich durch die jeweilige Krümmung an den einzelnen Punkten. **Was beschreibt die Krümmung konkret?** - **Bei einem Kreis** ist die Krümmung überall gleich groß (konstant), weil der Kreis überall gleich „rund“ ist. - **Bei einer Geraden** ist die Krümmung überall null, weil sich die Richtung der Tangente nie ändert. - **Bei einer Parabel oder Ellipse** ändert sich die Krümmung von Punkt zu Punkt: An den „spitzeren“ Stellen ist sie größer, an den „flacheren“ kleiner. **Mathematisch** wird die Krümmung einer ebenen Kurve oft als Kehrwert des Krümmungsradius angegeben. Sie kann mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung der Kurvengleichung berechnet werden. **Zusammengefasst:** Die Krümmung beschreibt, wie stark und an welcher Stelle sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Sie ist das entscheidende Merkmal, das verschiedene Kurvenformen voneinander unterscheidet, auch wenn die Methode zur Erzeugung (Bewegung eines Punktes) ähnlich ist.

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Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d... [mehr]

Accepted Answer

Um den Abstand eines Punktes zum Ursprung im Koordinatensystem zu bestimmen, verwendet man den Satz des Pythagoras. Für einen Punkt \( P(x, y) \) in der Ebene (2D) berechnet sich der Abstand \( d \) zum Ursprung \( (0, 0) \) so: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} \] Für einen Punkt \( P(x, y, z) \) im Raum (3D) gilt: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Du setzt einfach die Koordinaten des Punktes in die jeweilige Formel ein und erhältst den Abstand.

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Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Grö... [mehr]

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Um ein gleichseitiges Dreieck zu berechnen, benötigst du in der Regel eine Seitenlänge (a). Da alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel 60° betragen, lassen sich verschiedene Größen wie folgt berechnen: **1. Umfang (U):** \[ U = 3a \] **2. Höhe (h):** \[ h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \] **3. Fläche (A):** \[ A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \] **Beispiel:** Gegeben ist die Seitenlänge \( a = 6\,\text{cm} \). - Umfang: \( U = 3 \times 6 = 18\,\text{cm} \) - Höhe: \( h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 5{,}20\,\text{cm} \) - Fläche: \( A = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\,\text{cm}^2 \) Mit diesen Formeln kannst du alle wichtigen Größen eines gleichseitigen Dreiecks berechnen, wenn du eine Seitenlänge kennst.

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Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden (also die Geraden, die jeweils einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden) schneiden... [mehr]

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Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden (also die Geraden, die jeweils einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden) schneiden. Er wird auch als "Centroid" bezeichnet. Eigenschaften des Schwerpunkts: - Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, wobei der längere Abschnitt beim Eckpunkt liegt. - Der Schwerpunkt ist der "Mittelpunkt der Masse" eines homogenen Dreiecks. Berechnung der Koordinaten (bei gegebener Eckpunkten \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\)): \[ S\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] Der Schwerpunkt liegt also genau im arithmetischen Mittel der Koordinaten der drei Eckpunkte.