Beweise das Kommutativgesetz für m+n = n+m mit vollständiger Induktion.

Um das Kommutativgesetz für die Addition \( m + n = n + m \) mit vollständiger Induktion zu beweisen, gehen wir wie folgt vor:

**uktionsanfang:**

Wir zeigen zunächst, dass die Aussage für \( n = 0 \) gilt.

Für \( m + 0 = m \) und \( 0 + m = m \) gilt:

\[
m + 0 = 0 + m = m
\]

Somit ist die Aussage für \( n = 0 \) wahr.

**Induktionsvoraussetzung:**

Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges \( n = k \), das heißt:

\[
m + k = k + m
\]

**Induktionsschritt:**

Wir müssen zeigen, dass die Aussage auch für \( n = k + 1 \) gilt, also dass \( m + (k + 1) = (k + 1) + m \).

Wir können die linke Seite umschreiben:

\[
m + (k + 1) = m + k + 1
\]

Nach der Induktionsvoraussetzung wissen wir, dass \( m + k = k + m \). Daher können wir schreiben:

\[
m + (k + 1) = (k + m) + 1
\]

Nun betrachten wir die rechte Seite:

\[
(k + 1) + m = k + 1 + m = k + (1 + m)
\]

Da die Addition auch für \( 1 + m \) kommutativ ist, können wir umsortieren:

\[
k + (1 + m) = (k + m) + 1
\]

Somit haben wir:

\[
m + (k + 1) = (k + m) + 1 = (k + 1) + m
\]

Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen.

**Schlussfolgerung:**

Da der Induktionsanfang und der Induktionsschritt gezeigt wurden, folgt durch vollständige Induktion, dass das Kommutativgesetz \( m + n = n + m \) für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt.