Algebraischer Beweis: Quadratzahlen bei Division durch 8 geben Rest 0?

Ja, ich kann dir zeigen, wie man algebraisch beweist, welche Quadratzahlen bei Division durch 8 den Rest 0 lassen.

Betrachten wir eine ganze Zahl \( n \). Wir wollen herausfinden, wann \( n^2 \) bei Division durch 8 den Rest 0 lässt. Das bedeutet, wir suchen \( n \), sodass \( n^2 \equiv 0 \pmod{8} \).

Eine Zahl \( n \) kann in der Form \( n = 8k + r \) geschrieben werden, wobei \( k \) eine ganze Zahl ist und \( r \) der Rest bei Division durch 8 ist. Der Rest \( r \) kann die Werte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder 7 annehmen.

Nun betrachten wir die Quadrate dieser möglichen Reste:

1. \( r = 0 \):
\[
(8k + 0)^2 = 64k^2 \equiv 0 \pmod{8}
\]

2. \( r = 1 \):
\[
(8k + 1)^2 = 64k^2 + 16k + 1 \equiv 1 \pmod{8}
\]

3. \( r = 2 \):
\[
(8k + 2)^2 = 64k^2 + 32k + 4 \equiv 4 \pmod{8}
\]

4. \( r = 3 \):
\[
(8k + 3)^2 = 64k^2 + 48k + 9 \equiv 1 \pmod{8}
\]

5. \( r = 4 \):
\[
(8k + 4)^2 = 64k^2 + 64k + 16 \equiv 0 \pmod{8}
\]

6. \( r = 5 \):
\[
(8k + 5)^2 = 64k^2 + 80k + 25 \equiv 1 \pmod{8}
\]

7. \( r = 6 \):
\[
(8k + 6)^2 = 64k^2 + 96k + 36 \equiv 4 \pmod{8}
\]

8. \( r = 7 \):
\[
(8k + 7)^2 = 64k^2 + 112k + 49 \equiv 1 \pmod{8}
\]

Aus diesen Berechnungen sehen wir, dass \( n^2 \equiv 0 \pmod{8} \) nur dann gilt, wenn \( n \equiv 0 \pmod{8} \) oder \( n \equiv 4 \pmod{8} \).

Das bedeutet, die Quadratzahlen von \( n \), die bei Division durch 8 den Rest 0 lassen, sind diejenigen, bei denen \( n \) entweder ein Vielfaches von 8 oder 4 mehr als ein Vielfaches von 8 ist.