61 Fragen zu Rechenweg

Um die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(2x^2 + x - 1 = 0\) zu finden, kann die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) verwendet werden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(ax^2 + bx + c = 0\). In diesem Fall sind \(a = 2\), \(b = 1\) und \(c = -1\). Die Mitternachtsformel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Setze die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) ein: \[ x = \frac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \] Berechne die Diskriminante (\(b^2 - 4ac\)): \[ b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Setze die Diskriminante in die Formel ein: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \] Berechne die Wurzeln: \[ \sqrt{9} = 3 \] Nun gibt es zwei Lösungen: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Die Nullstellen der Gleichung \(2x^2 + x - 1 = 0\) sind also: \[ x = \frac{1}{2} \quad \text{und} \quad x = -1 \]

Um die Summe, Differenz, das Produkt und den Quotienten der komplexen Zahlen \( z_1 = 1 + 3i \) und \( z_2 = 2 - i \) zu berechnen, folge diesen Schritten: ### Summe \( z_1 + z_2 \) \[ z_1 + z_2 = (1 + 3i) + (2 - i) \] \[ = 1 + 2 + 3i - i \] \[ = 3 + 2i \] ### Differenz \( z_1 - z_2 \) \[ z_1 - z_2 = (1 + 3i) - (2 - i) \] \[ = 1 - 2 + 3i + i \] \[ = -1 + 4i \] ### Produkt \( z_1 \cdot z_2 \) \[ z_1 \cdot z_2 = (1 + 3i) \cdot (2 - i) \] \[ = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-i) + 3i \cdot 2 + 3i \cdot (-i) \] \[ = 2 - i + 6i - 3i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 2 - i + 6i + 3 \] \[ = 2 + 3 + 5i \] \[ = 5 + 5i \] ### Quotient \( \frac{z_1}{z_2} \) \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 3i}{2 - i} \] Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners \( 2 + i \): \[ = \frac{(1 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} \] Berechne den Zähler: \[ (1 + 3i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + 3i \cdot 2 + 3i \cdot i \] \[ = 2 + i + 6i + 3i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 2 + i + 6i - 3 \] \[ = -1 + 7i \] Berechne den Nenner: \[ (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 4 - (-1) \] \[ = 4 + 1 \] \[ = 5 \] Somit: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-1 + 7i}{5} \] \[ = -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \] Zusammengefasst: - Summe: \( 3 + 2i \) - Differenz: \( -1 + 4i \) - Produkt: \( 5 + 5i \) - Quotient: \( -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \)

Um den pH-Wert der Lösung zu berechnen, sind einige Informationen erforderlich, die in der Frage nicht gegeben sind, wie z.B. die Konzentration der Chlorwasserstofflösung (HCl). Angenommen, es handelt sich um eine 1 M (are) HCl-Lösung, kann der pH-Wert wie folgt berechnet werden: 1. **Berechnung der Anzahl der Mol HCl in der ursprünglichen Lösung:** \[ \text{Anzahl der Mol HCl} = \text{Konzentration} \times \text{Volumen} = 1 \, \text{mol/L} \times 2 \, \text{L} = 2 \, \text{mol} \] 2. **Berechnung der neuen Konzentration nach Verdünnung:** \[ \text{Neue Konzentration} = \frac{\text{Anzahl der Mol HCl}}{\text{neues Volumen}} = \frac{2 \, \text{mol}}{0,5 \, \text{L}} = 4 \, \text{mol/L} \] 3. **Berechnung des pH-Werts:** Da HCl eine starke Säure ist, dissoziiert sie vollständig in Wasser. Die Konzentration der H\(^+\)-Ionen entspricht der Konzentration der HCl-Lösung. \[ \text{pH} = -\log[\text{H}^+] = -\log[4 \, \text{mol/L}] \] \[ \text{pH} = -\log(4) \approx -0,6 \] Der pH-Wert der Lösung beträgt also etwa -0,6.

Um den Ausdruck \( 142zx - 37xz - 49xz \) zu vereinfachen, kannst du die ähnlichen Terme zusammenfassen. Hier ist der Rechenweg: 1. Schreibe den Ausdruck auf: \[ 142zx - 37xz - 49xz \] 2. Fasse die ähnlichen Terme zusammen. Die Terme \( -37xz \) und \( -49xz \) können addiert werden: \[ -37xz - 49xz = -(37 + 49)xz = -86xz \] 3. Setze die zusammengefassten Terme wieder in den Ausdruck ein: \[ 142zx - 86xz \] 4. Jetzt kannst du die Terme \( 142zx \) und \( -86xz \) zusammenfassen: \[ (142 - 86)zx = 56zx \] Das Endergebnis ist also: \[ 56zx \]

Um die Zahl zu finden, die in der Mitte zwischen zwei Zahlen liegt, berechnest du den Durchschnitt dieser beiden Zahlen. 1. **Zwei Zahlen**: Angenommen, die beiden Zahlen sind \( a \) und \( b \). 2. **Mittelwert**: Der Mittelwert wird berechnet mit der Formel: \[ \text{Mittelwert} = \frac{a + b}{2} \] Für dein Beispiel mit \( +12 \) und \( -9 \): 1. **Zahlen**: \( a = 12 \) und \( b = -9 \) 2. **Berechnung**: \[ \text{Mittelwert} = \frac{12 + (-9)}{2} = \frac{12 - 9}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \] Die Zahl, die in der Mitte zwischen \( +12 \) und \( -9 \) liegt, ist also \( 1.5 \).

Um die Gleichung \(x^2 - 169 = 0\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Umstellen der Gleichung**: \[ x^2 = 169 \] 2. **Quadratwurzel ziehen**: Um \(x\) zu isolieren, ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung: \[ x = \pm \sqrt{169} \] 3. **Berechnung der Quadratwurzel**: Da \( \sqrt{169} = 13\), erhältst du: \[ x = \pm 13 \] 4. **Lösungen**: Die Lösungen der Gleichung sind: \[ x = 13 \quad \text{und} \quad x = -13 \] Zusammenfassend sind die Lösungen \(x = 13\) und \(x = -13\).

Um den Bruch 18:100 in Dezimalzahlen umzuwandeln, kannst du die Division durchführen. Hier ist der Rechenweg: 1. Teile 18 durch 100: \[ 18 \div 100 = 0,18 \] Das Ergebnis ist also 0,18. Zusammengefasst: 18:100 entspricht 0,18 in Dezimalform.

Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreises wird mit der Formel \[ A = \pi r^2 \] berechnet, wobei \( r \) der Radius des Kreises ist und \( \pi \) eine mathematische Konstante ist, die ungefähr 3,14159 beträgt. **Rechenweg:** 1. Bestimme den Radius \( r \) des Kreises. 2. Quadriere den Radius: \( r^2 \). 3. Multipliziere das Ergebnis mit \( \pi \): \( A = \pi \cdot r^2 \). **Beispiel:** Angenommen, der Radius des Kreises beträgt 3 cm. 1. \( r = 3 \, \text{cm} \) 2. \( r^2 = 3^2 = 9 \, \text{cm}^2 \) 3. \( A = \pi \cdot 9 \approx 3,14159 \cdot 9 \approx 28,27 \, \text{cm}^2 \) Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ungefähr 28,27 cm².

Um 3,275 durch 1,2 zu teilen, kannst du den folgenden Rechenweg verwenden: 1. **Umwandlung in ganze Zahlen**: Multipliziere sowohl den Zähler (3,275) als auch den Nenner (1,2) mit 10, um die Dezimalstellen zu eliminieren. \[ \frac{3,275 \times 10}{1,2 \times 10} = \frac{32,75}{12} \] 2. **Division durchführen**: Jetzt kannst du 32,75 durch 12 teilen. - 12 passt 2-mal in 32 (12 x 2 = 24). - Subtrahiere 24 von 32, was 8 ergibt. - Ziehe die nächste Ziffer (7) herunter, sodass du 87 hast. - 12 passt 7-mal in 87 (12 x 7 = 84). - Subtrahiere 84 von 87, was 3 ergibt. - Ziehe die nächste Ziffer (5) herunter, sodass du 35 hast. - 12 passt 2-mal in 35 (12 x 2 = 24). - Subtrahiere 24 von 35, was 11 ergibt. - Ziehe eine weitere 0 herunter, sodass du 110 hast. - 12 passt 9-mal in 110 (12 x 9 = 108). - Subtrahiere 108 von 110, was 2 ergibt. 3. **Ergebnis**: Das Ergebnis der Division ist 2,729 mit einem Rest von 2. Wenn du weiter mit Dezimalstellen rechnest, erhältst du: \[ 3,275 \div 1,2 \approx 2,7291667 \] Das gerundete Ergebnis ist also etwa 2,73.

Um das Ergebnis von (+5) + (-10) zu berechnen, folge diesen Schritten: 1. **Identifiziere die Zahlen**: Du hast die positive Zahl +5 und die negative Zahl -10. 2. **Addiere die Zahlen**: Das Hinzufügen einer negativen Zahl entspricht dem Subtrahieren des Betrags dieser Zahl. Daher kannst du die Rechnung umformulieren: \[ +5 + (-10) = +5 - 10 \] 3. **Subtrahiere**: Jetzt subtrahierst du 10 von 5: \[ 5 - 10 = -5 \] Das Ergebnis von (+5) + (-10) ist also -5.

Um die Rechnung \((-3) - (-5)\) durchzuführen, folge diesen Schritten: 1. **Doppelte Negation**: Wenn du eine negative Zahl von einer anderen negativen Zahl subtrahierst, kannst du die Subtraktion in eine Addition umwandeln. Das bedeutet, dass \(-(-5)\) gleich \(+5\) ist. 2. **Umformulierung der Rechnung**: Die Rechnung wird also zu: \[ (-3) + 5 \] 3. **Addition**: Jetzt addierst du \(-3\) und \(5\): \[ -3 + 5 = 2 \] Das Ergebnis von \((-3) - (-5)\) ist also \(2\).

Um \((2v^4)^5\) zu berechnen, verwendest du die Potenzregel, die besagt, dass \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Hier ist der Rechenweg: 1. Schreibe den Ausdruck auf: \((2v^4)^5\). 2. Wende die Potenzregel auf die Konstante und die Variable an: - Für die Konstante \(2\): \(2^5 = 32\). - Für die Variable \(v^4\): \((v^4)^5 = v^{4 \cdot 5} = v^{20}\). 3. Setze die Ergebnisse zusammen: \[ (2v^4)^5 = 32v^{20}. \] Das Endergebnis ist also \(32v^{20}\).

Um die Gleichung \(\sqrt[3]{4x - 4} = 2\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Beide Seiten der Gleichung kubieren**: Um die Kubikwurzel zu eliminieren, kubiere beide Seiten der Gleichung: \[ (\sqrt[3]{4x - 4})^3 = 2^3 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 4x - 4 = 8 \] 2. **Die Gleichung nach \(x\) umstellen**: Addiere 4 zu beiden Seiten der Gleichung: \[ 4x = 8 + 4 \] Das ergibt: \[ 4x = 12 \] 3. **Durch 4 teilen**: Teile beide Seiten durch 4, um \(x\) zu isolieren: \[ x = \frac{12}{4} \] Das vereinfacht sich zu: \[ x = 3 \] 4. **Lösung überprüfen**: Setze \(x = 3\) in die ursprüngliche Gleichung ein, um sicherzustellen, dass die Lösung korrekt ist: \[ \sqrt[3]{4(3) - 4} = \sqrt[3]{12 - 4} = \sqrt[3]{8} = 2 \] Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Lösung korrekt. Die Lösung der Gleichung ist also \(x = 3\).

Um die Aufgabe \( z^{-4} + 2z^{-2} \) zu berechnen, kannst du die Potenzen umformen und vereinfachen. Hier ist der Rechenweg: 1. **Umformung der negativen Exponenten**: \[ z^{-4} = \frac{1}{z^4} \quad \text{und} \quad z^{-2} = \frac{1}{z^2} \] Damit wird die Gleichung: \[ z^{-4} + 2z^{-2} = \frac{1}{z^4} + 2 \cdot \frac{1}{z^2} \] 2. **Gemeinsamen Nenner finden**: Der gemeinsame Nenner für die beiden Brüche ist \( z^4 \). Daher kannst du den zweiten Term umformen: \[ 2 \cdot \frac{1}{z^2} = \frac{2z^2}{z^4} \] 3. **Zusammenfassen der Brüche**: Jetzt kannst du die beiden Brüche addieren: \[ \frac{1}{z^4} + \frac{2z^2}{z^4} = \frac{1 + 2z^2}{z^4} \] 4. **Endergebnis**: Das Ergebnis der Berechnung ist: \[ \frac{1 + 2z^2}{z^4} \] Das ist die vereinfachte Form der ursprünglichen Aufgabe.

Um die Gleichung \(\sqrt[3]{-4x - 4} = 2\) zu lösen, folge diesen Schritten: 1. **Beide Seiten der Gleichung kubieren**: \[ -4x - 4 = 2^3 \] \[ -4x - 4 = 8 \2. **Dieung nach \(x\) umstellen**: \[ -4x = 8 + 4 \] \[ -4x = 12 \] 3. **Durch -4 teilen**: \[ x = \frac{12}{-4} \] \[ x = -3 \] Die Lösung der Gleichung ist also \(x = -3\).