Berechnen Sie für z1 und z2 die Summe z1 + z2, die Differenz z1 − z2, das Produkt z1 · z2 und den Quotienten z1 / z2. z1 = 1+3i und z2 = 2−i mit Rechenweg?

Um die Summe, Differenz, das Produkt und den Quotienten der komplexen Zahlen \( z_1 = 1 + 3i \) und \( z_2 = 2 - i \) zu berechnen, folge diesen Schritten: ### Summe \( z_1 + z_2 \) \[ z_1 + z_2 = (1 + 3i) + (2 - i) \] \[ = 1 + 2 + 3i - i \] \[ = 3 + 2i \] ### Differenz \( z_1 - z_2 \) \[ z_1 - z_2 = (1 + 3i) - (2 - i) \] \[ = 1 - 2 + 3i + i \] \[ = -1 + 4i \] ### Produkt \( z_1 \cdot z_2 \) \[ z_1 \cdot z_2 = (1 + 3i) \cdot (2 - i) \] \[ = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-i) + 3i \cdot 2 + 3i \cdot (-i) \] \[ = 2 - i + 6i - 3i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 2 - i + 6i + 3 \] \[ = 2 + 3 + 5i \] \[ = 5 + 5i \] ### Quotient \( \frac{z_1}{z_2} \) \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + 3i}{2 - i} \] Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Wert des Nenners \( 2 + i \): \[ = \frac{(1 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} \] Berechne den Zähler: \[ (1 + 3i)(2 + i) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + 3i \cdot 2 + 3i \cdot i \] \[ = 2 + i + 6i + 3i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 2 + i + 6i - 3 \] \[ = -1 + 7i \] Berechne den Nenner: \[ (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 \] Da \( i^2 = -1 \): \[ = 4 - (-1) \] \[ = 4 + 1 \] \[ = 5 \] Somit: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-1 + 7i}{5} \] \[ = -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \] Zusammengefasst: - Summe: \( 3 + 2i \) - Differenz: \( -1 + 4i \) - Produkt: \( 5 + 5i \) - Quotient: \( -\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i \)