Wie wird mit einem geometrischen Grenzprozess ein Winkeldrittel erzeugt?

Question

Wie wird mit einem geometrischen Grenzprozess ein Winkeldrittel erzeugt?

Antwort

Verwandte Fragen

Liefert Archimedes eine Zahl oder eine Strecke im Vergleich zu einer geometrischen Konstruktion?

Was bedeutet intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktionen?

Ist die cohaerentische Geometrie gegenüber der euklidischen eine uneingeschränkte Geometrie, die auch Parabeln wie y=x^2 und y=x^3 einbezieht?

Ist die archimedische Ermittlung des Kreisverhältnisses ein rein geometrisch konstruierter Grenzprozess?

Was ist eine geometrische Entität?

Wurde der Begriff intrinsisch plausibel erstmals mit der kohärentischen Geometrie eingeführt und für Konstruktionen verwendet?

Was bedeutet intrinsische Plausibilität kohaerentischer Geometrie im Unterschied zur klassischen Geometrie?

Sind die drei klassischen Problemaufgaben der Antike lösbar, wenn es keine Einschränkungen oder Ungleichbehandlungen bei den verwendeten Kurven gibt?

Gibt es für klassische freie Problemaufgaben der Antike konstruierte Grenzprozesse mit intrinsischer Plausibilität?

Was ist unmöglich: der exakte klassisch konstruierte Prozess des Winkeldrittelns oder die exakte Darstellung der Winkeldrittelgröße?

Accepted Answer

Um einen Winkeldrittel geometrisch zu konstruieren, kann man den sogenannten Grenzprozess verwenden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Zeichne einen Winkel**: Beginne mit einem Winkel \( \alpha \), den du in drei gleich große Teile teilen möchtest. 2. **Konstruiere einen gleichseitigen Dreieck**: Zeichne ein gleichseitiges Dreieck, dessen eine Ecke am Scheitelpunkt des Winkels liegt und dessen Seiten die beiden Schenkel des Winkels berühren. 3. **Konstruiere den Mittelpunkt**: Finde den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite des gleichseitigen Dreiecks. Nenne diesen Punkt \( M \). 4. **Zeichne eine Linie**: Ziehe eine Linie von \( M \) zum Scheitelpunkt des Winkels. Diese Linie teilt den Winkel in zwei Teile. 5. **Wiederhole den Prozess**: Um den Winkel weiter zu teilen, kannst du den Prozess wiederholen, indem du in jedem Schritt ein neues gleichseitiges Dreieck an der neuen Linie konstruierst und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite findest. 6. **Grenzwertbetrachtung**: Wenn du diesen Prozess unendlich oft wiederholst, nähert sich der Winkel, den du erzeugst, dem Drittel des ursprünglichen Winkels \( \alpha \). Dieser geometrische Grenzprozess zeigt, wie man durch wiederholte Konstruktionen und das Finden von Mittelpunkten einen Winkeldrittel erzeugen kann.

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Du hast recht, dass Archimedes in seinen Arbeiten oft mit Zahlen beziehungsweise Zahlenverhältnissen gearbeitet hat, während klassische geometrische Konstruktionen (etwa mit Zirkel und Linea... [mehr]

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Du hast recht, dass Archimedes in seinen Arbeiten oft mit Zahlen beziehungsweise Zahlenverhältnissen gearbeitet hat, während klassische geometrische Konstruktionen (etwa mit Zirkel und Lineal) tatsächlich Strecken, also konkrete geometrische Objekte, liefern. In der antiken Mathematik war die Unterscheidung zwischen "Zahl" und "Strecke" (bzw. "Größe") tatsächlich ein zentrales Thema. Archimedes hat viele seiner Ergebnisse als Zahlenverhältnisse (z. B. das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises) angegeben, aber er hat diese Verhältnisse oft auch geometrisch interpretiert. In der klassischen griechischen Mathematik war es üblich, Größen (wie Längen, Flächen, Volumina) durch Konstruktionen darzustellen, während Zahlen eher als Maßeinheiten oder Verhältnisse verstanden wurden. Wenn du also darauf hinauswillst, dass eine geometrische Konstruktion eine konkrete Strecke liefert, während Archimedes oft ein Zahlenverhältnis angibt, ist das korrekt. Die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal liefert ein "anschauliches" Ergebnis, das du direkt im Bild sehen kannst, während Archimedes’ Methode das Ergebnis als abstraktes Verhältnis oder als Zahl beschreibt. Beide Ansätze sind jedoch eng miteinander verbunden: Jede mit Zirkel und Lineal konstruierbare Strecke kann als Zahlenwert (im Sinne der Längenmessung) angegeben werden, und umgekehrt kann ein Zahlenverhältnis oft geometrisch als Strecke dargestellt werden – sofern es mit den erlaubten Mitteln konstruierbar ist. Zusammengefasst: - Archimedes liefert meist Zahlenverhältnisse oder Zahlen als Ergebnis. - Geometrische Konstruktionen liefern konkrete Strecken (oder andere geometrische Objekte). - Die Verbindung zwischen beiden Ansätzen ist das Maß: Jede Strecke kann gemessen und als Zahl angegeben werden, aber nicht jede Zahl kann als konstruierbare Strecke dargestellt werden. Falls du auf einen konkreten Satz oder eine spezielle Konstruktion anspielst, kann ich gerne noch genauer darauf eingehen.

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Der Begriff „intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktion“ bezieht sich auf die Frage, wie überzeugend oder nachvollziehbar eine geometrische Konstruktion aus sich selbs... [mehr]

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Der Begriff „intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktion“ bezieht sich auf die Frage, wie überzeugend oder nachvollziehbar eine geometrische Konstruktion aus sich selbst heraus erscheint – also ohne Rückgriff auf äußere Hilfsmittel oder zusätzliche Annahmen. **Intrinsisch** bedeutet hier, dass die Plausibilität aus den Eigenschaften und Regeln der Geometrie selbst folgt. Eine Konstruktion gilt als intrinsisch plausibel, wenn sie logisch und nachvollziehbar aus den Grundprinzipien der Geometrie (wie z.B. den Euklidischen Axiomen) abgeleitet werden kann. **Beispiel:** Das Konstruieren der Mittelsenkrechten einer Strecke mit Zirkel und Lineal ist intrinsisch plausibel, weil die Schritte direkt aus den Grundregeln der euklidischen Geometrie folgen und sich die Konstruktion anschaulich und logisch erklären lässt. **Zusammengefasst:** Eine geometrische Konstruktion ist dann intrinsisch plausibel, wenn sie aus den grundlegenden Prinzipien der Geometrie logisch ableitbar und anschaulich nachvollziehbar ist, ohne dass externe oder willkürliche Annahmen nötig sind.

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathe... [mehr]

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Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathematik. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. im euklidischen Raum beschäftigt. Wenn du darauf hinauswillst, dass es Geometrien gibt, die nicht nur Geraden und Kreise, sondern auch Parabeln und andere Kurven wie \( y = x^2 \) oder \( y = x^3 \) als „Grundobjekte“ behandeln, dann spricht man eher von analytischer Geometrie oder von algebraischer Geometrie. In diesen Disziplinen werden allgemeine Kurven, die durch Gleichungen beschrieben werden, untersucht. **Zusammengefasst:** - Die euklidische Geometrie arbeitet mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. - In der analytischen oder algebraischen Geometrie werden auch Parabeln, Kubiken und andere Kurven betrachtet. - Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht gebräuchlich. Falls du auf eine spezielle Theorie oder ein bestimmtes Konzept hinauswillst, wäre eine genauere Begriffserklärung hilfreich.

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Die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses (also der Zahl π) ist tatsächlich ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess. Archimedes hat da... [mehr]

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Die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses (also der Zahl π) ist tatsächlich ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess. Archimedes hat dazu die Methode der Exhaustion verwendet: Er hat in einen Kreis regelmäßige Vielecke ein- und umbeschrieben und deren Umfänge berechnet. Mit steigender Anzahl der Seiten nähern sich die Umfänge der Vielecke dem tatsächlichen Kreisumfang von innen und außen immer weiter an. Der wahre Umfang des Kreises liegt also zwischen dem Umfang des einbeschriebenen und des umbeschriebenen Vielecks. Wichtig ist: Archimedes hat dabei ausschließlich geometrische Konstruktionen und Argumente verwendet, ohne auf algebraische oder analytische Methoden (wie Grenzwertrechnung im modernen Sinn) zurückzugreifen. Der Grenzprozess ist also rein geometrisch, da er auf der sukzessiven Verfeinerung der Vielecke und der Anwendung geometrischer Sätze beruht. Zusammengefasst: Ja, die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses ist ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess.

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Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Li... [mehr]

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Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Linien, Strecken, Ebenen, Kreise und Flächen. Sie dienen als Bausteine für komplexere geometrische Konstruktionen und werden häufig in Mathematik, Technik, Architektur und CAD-Systemen verwendet.

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Der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein feststehender oder historisch klar definierter Begriff in der Mathematik oder Geometrie. Er taucht in der mathematischen Literatur nicht als st... [mehr]

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Der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein feststehender oder historisch klar definierter Begriff in der Mathematik oder Geometrie. Er taucht in der mathematischen Literatur nicht als standardisierte Terminologie auf, sondern wird gelegentlich als beschreibender Ausdruck verwendet, um zu sagen, dass etwas aus sich heraus (also ohne äußere Hilfsmittel oder zusätzliche Annahmen) einleuchtend oder nachvollziehbar ist. Im Zusammenhang mit der Geometrie, insbesondere der sogenannten „kohärentischen Geometrie“ (gemeint ist vermutlich die kohärente oder auch axiomatische Geometrie), wird der Begriff „intrinsisch“ oft verwendet, um Eigenschaften oder Konstruktionen zu beschreiben, die allein aus der Struktur des betrachteten Objekts heraus verständlich sind – also ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum (wie z.B. bei der intrinsischen Krümmung einer Fläche). Der Ausdruck „intrinsisch plausibel“ ist jedoch kein Begriff, der erst mit der Entwicklung der kohärentischen (axiomatischen) Geometrie eingeführt wurde oder ausschließlich dort für Konstruktionen verwendet wird. Vielmehr handelt es sich um eine allgemeine Formulierung, die in verschiedenen Kontexten auftreten kann, um die Nachvollziehbarkeit oder Natürlichkeit einer Definition, eines Beweises oder einer Konstruktion zu betonen. Zusammengefasst: Nein, der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein spezifischer Terminus, der erst mit der kohärentischen Geometrie eingeführt wurde oder nur dort für Konstruktionen verwendet wird. Es handelt sich um eine allgemeine, beschreibende Wendung, die unabhängig von einem bestimmten geometrischen Kontext verwendet werden kann.

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Cohaerentische Geometrie legt Wert darauf, dass geometrische Konstruktionen und Begriffe aus sich selbst heraus, also **intrinsisch**, plausibel und nachvollziehbar sind. Das bedeutet, dass die Defini... [mehr]

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Cohaerentische Geometrie legt Wert darauf, dass geometrische Konstruktionen und Begriffe aus sich selbst heraus, also **intrinsisch**, plausibel und nachvollziehbar sind. Das bedeutet, dass die Definitionen, Axiome und Konstruktionen so gestaltet werden, dass sie unmittelbar einsichtig und verständlich sind, ohne auf äußere Hilfsmittel oder zusätzliche Annahmen zurückgreifen zu müssen. **Im Unterschied zur klassischen Geometrie** (wie etwa der euklidischen Geometrie) bedeutet das: - **Klassische Geometrie** arbeitet oft mit Axiomen und Definitionen, die zwar logisch konsistent sind, aber nicht immer unmittelbar anschaulich oder aus sich heraus plausibel erscheinen. Manche Begriffe (wie "Punkt", "Gerade", "Ebene") werden als undefinierte Grundbegriffe vorausgesetzt, und viele Konstruktionen beruhen auf diesen abstrakten Annahmen. - **Cohaerentische Geometrie** hingegen versucht, alle Begriffe und Konstruktionen so zu wählen und zu begründen, dass sie für sich genommen verständlich und nachvollziehbar sind, ohne dass man auf "blinde" Annahmen oder äußere Hilfsmittel angewiesen ist. **Beispiel:** In der klassischen Geometrie wird oft ein Zirkel als Werkzeug vorausgesetzt, um Kreise zu zeichnen, ohne zu hinterfragen, wie ein solcher Zirkel "intrinsisch" funktioniert. In der cohaerentischen Geometrie würde man versuchen, die Möglichkeit, einen Kreis zu konstruieren, aus den Eigenschaften der Geometrie selbst abzuleiten und zu begründen. **Zusammengefasst:** Cohaerentische Geometrie strebt eine innere, aus sich selbst heraus verständliche Begründung aller geometrischen Sachverhalte an, während die klassische Geometrie stärker auf formale Axiome und externe Werkzeuge setzt, die nicht immer unmittelbar plausibel erscheinen.

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Die drei klassischen Problemaufgaben der Antike sind: 1. **Quadratur des Kreises** (Konstruktion eines Quadrats mit gleichem Flächeninhalt wie ein gegebener Kreis) 2. **Verdopplung des Würf... [mehr]

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Die drei klassischen Problemaufgaben der Antike sind: 1. **Quadratur des Kreises** (Konstruktion eines Quadrats mit gleichem Flächeninhalt wie ein gegebener Kreis) 2. **Verdopplung des Würfels** (Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels) 3. **Dreiteilung des Winkels** (Konstruktion eines Winkels, der genau ein Drittel eines gegebenen Winkels beträgt) Diese Aufgaben sind mit Zirkel und Lineal **nicht** lösbar, wie im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen wurde. Der Grund liegt darin, dass die Lösungen auf algebraische Probleme zurückgehen, die mit den erlaubten Konstruktionen nicht lösbar sind (z.B. Wurzeln dritten oder höheren Grades, Transzendenz von π). **Wenn jedoch keine Einschränkungen gemacht werden**, also wenn beliebige Kurven (z.B. die Quadratrix, die Neusis-Konstruktion, spezielle mechanische Kurven) oder andere Hilfsmittel erlaubt sind, dann **können alle drei Aufgaben gelöst werden**. Das heißt: Die Unmöglichkeit bezieht sich nur auf die klassischen Einschränkungen (nur Zirkel und Lineal, keine weiteren Hilfsmittel oder Kurven). **Fazit:** Ohne Einschränkungen und ohne Ungleichbehandlung der Kurven (also wenn beliebige Kurven und Werkzeuge zugelassen sind), sind die drei klassischen Probleme der Antike **lösbar**. Weitere Informationen: - [Quadratrix (Wikipedia)](https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratrix) - [Neusis-Konstruktion (Wikipedia)](https://de.wikipedia.org/wiki/Neusis-Konstruktion)

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Die klassischen freien Problemaufgaben der Antike – also das Quadraturproblem des Kreises, die Dreiteilung des Winkels und die Verdopplung des Würfels – sind mit Zirkel und Lineal nic... [mehr]

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Die klassischen freien Problemaufgaben der Antike – also das Quadraturproblem des Kreises, die Dreiteilung des Winkels und die Verdopplung des Würfels – sind mit Zirkel und Lineal nicht lösbar, wie im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen wurde. Die Frage, ob es für diese Probleme „konstruierte Grenzprozesse mit intrinsischer Plausibilität“ geben kann, zielt darauf ab, ob man durch Grenzprozesse (also durch Grenzwerte von Folgen von konstruierbaren Objekten) zu einer Lösung gelangen könnte, die auf eine natürliche, nachvollziehbare Weise entsteht. Tatsächlich gibt es für diese Probleme Grenzprozesse, die zu einer „Lösung im Grenzwert“ führen. Zum Beispiel kann man die Quadratur des Kreises durch eine Folge von Vielecken mit immer mehr Seiten annähern, deren Flächen gegen die Kreisfläche konvergieren. Ähnliches gilt für die Annäherung an die Würfelverdopplung oder die Dreiteilung des Winkels: Man kann mit Zirkel und Lineal beliebig nahe an die exakte Lösung herankommen, aber nie exakt treffen. Ob diese Grenzprozesse „intrinsisch plausibel“ sind, hängt von der Interpretation ab: - **Mathematisch**: Ja, Grenzprozesse sind ein fundamentaler Bestandteil der Analysis und der modernen Mathematik. Die Annäherung an eine Lösung durch eine Folge von konstruierbaren Schritten ist mathematisch sinnvoll und plausibel. - **Konstruktivistisch (im Sinne der antiken Geometrie)**: Nein, denn die klassische Konstruktion verlangt eine endliche Abfolge von Schritten mit Zirkel und Lineal. Ein Grenzprozess, der unendlich viele Schritte erfordert, ist im klassischen Sinn keine zulässige Konstruktion. Zusammengefasst: Es gibt konstruierte Grenzprozesse, die zu den Lösungen der klassischen Probleme im Grenzwert führen und mathematisch plausibel sind. Im Sinne der klassischen, endlichen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal gelten sie jedoch nicht als „echte“ Lösungen. Die Plausibilität hängt also vom gewählten mathematischen Standpunkt ab.

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Generell ist das **exakte Winkeldritteln** mit Zirkel und Lineal (klassische Konstruktion) für einen beliebigen Winkel unmöglich. Das bedeutet: Es gibt Winkel, die sich mit diesen klassische... [mehr]

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Generell ist das **exakte Winkeldritteln** mit Zirkel und Lineal (klassische Konstruktion) für einen beliebigen Winkel unmöglich. Das bedeutet: Es gibt Winkel, die sich mit diesen klassischen Werkzeugen nicht exakt in drei gleiche Teile teilen lassen. Die **exakte Darstellung der Winkeldrittelgröße** ist hingegen mathematisch möglich, zum Beispiel als Zahl (z. B. \(\cos(\alpha/3)\)), als Lösung einer Gleichung oder mit anderen Hilfsmitteln. Sie ist nur mit Zirkel und Lineal nicht immer konstruierbar. **Fazit:** Unmöglich ist der exakte klassische Konstruktionsprozess des Winkeldrittelns für beliebige Winkel. Die exakte mathematische Darstellung der Winkeldrittelgröße ist hingegen möglich.